能表示任意向量的向量一定等价于单位向量

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,2)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,3)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1, a)^{\mathrm{\top}}$ 可以表示任意一个三维向量，则 $a$ 的取值为（）

难度评级：

二、解析

如果 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,3)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1, a)^{\mathrm{\top}}$ 可以表示任意一个三维向量，那么，$\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 一定等价于（即可以经过有限次初等变换转换为）如下三个向量：

$$
(1, 0, 0)^{\top}
$$

$$
(0, 1, 0)^{\top}
$$

$$
(0, 0, 1)^{\top}
$$

又：

$$
r
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
=3
\Rightarrow
$$

$$
r
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
4 & 7 & 1 \\
2 & 3 & a
\end{bmatrix}
=3
\Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 0 \\
4 & 7 & 1 \\
2 & 3 & a
\end{vmatrix}
\neq 0
\Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & -1 & a
\end{vmatrix}
\neq 0
\Rightarrow
$$

$$
a \neq 1
$$

---