荒原之梦

一、题目

已知曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的曲率圆为 $(x – 1)^{2} + (y – 1)^{2} = 2$, 则：

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{(1 + x)^{x} – 1} = ?
$$

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继续阅读“通过曲率圆和二阶导确定极限式子的值”

一、题目

当 $x \rightarrow 0$ 时，无穷小量：

$$
\begin{aligned}
& \alpha = \sqrt{1 + x \cos x} – \sqrt{1 + \sin x} \\
& \beta = \int _{0}^{e^{2x} – 1} \frac{\sin ^{2} t}{t} \mathrm{~d} t \\
& \gamma = \cos (\tan x) – \cos x
\end{aligned}
$$

的阶数由高到低次序为 ($\quad$)

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继续阅读“无穷小与有理化、积分、中值定理相结合的一道题目”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\sin x} \mathrm{~d} x=?
$$

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继续阅读“积分运算去根号的方式之一：三角函数凑平方去根号”

一、题目

已知函数 $f(x)$ 连续, $\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{\ln x}=2$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=1$ 处的切线方程为 ( $\quad$ )

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继续阅读“应用恒等变形解题的核心思想：题目给啥我变啥”

一、题目

设函数 $f(x)$ 可导, $|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导, 则 $(\quad)$

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继续阅读“绝对值函数怎么求导？”

一、题目

设可导函数 $f(x)>0$, 则：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \ln \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{f(0)} = ?
$$

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继续阅读“遇到关于对数函数的式子，先将乘除变加减”

一、题目

已知矩阵 $A = \begin{pmatrix}
0 & 2 & a \\
1 & 0 & b \\
2 & 1 & 0
\end{pmatrix}$, 三维列向量 $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, $\alpha_{3}$ 线性无关, 而 $A \alpha_{1}$, $A \alpha_{2}$, $A \alpha_{3}$ 线性相关, 则参数 $a$ 和 $b$ 应满足什么关系?

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继续阅读“不可逆矩阵乘上一个可逆矩阵得不可逆矩阵”

一、题目

$$
I = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\ln (n+1)} (\sqrt[n]{n} – 1)
$$

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继续阅读“用 e 抬起法去根号”