应用恒等变形解题的核心思想：题目给啥我变啥

一、题目

已知函数 $f(x)$ 连续, $\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{\ln x}=2$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=1$ 处的切线方程为 ( $\quad$ )

难度评级：

二、解析

由题可知，只要求解出了下式中的 $f(1)$ 和 $f^{\prime}(1)$ 即可完成解题：

$$
y – \textcolor{orangered}{f(1)} = \textcolor{orangered}{f^{\prime}(1)} (x-1)
$$

首先，利用函数 $f(x)$ 的连续性求解 $f(1)$（绿色部分为恒等变形）：

$$
\begin{aligned}
f(1) = & \lim \limits_{x \rightarrow 1} f(x) \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 1}[ \textcolor{springgreen}{f(x)-1+1} ] \\
= & 1+\lim \limits_{x \rightarrow 1}[f(x)-1] \\
= & 1+\lim \limits_{x \rightarrow 1} \textcolor{springgreen}{ \frac{f(x)-1}{\ln x} \cdot \ln x } \\
= & 1+2 \ln x \\
= & 1+2 \cdot 0=1
\end{aligned}
$$

接着，利用一点处导数的定义求解 $f^{\prime}(1)$（绿色部分为恒等变形）：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(1) = & \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1} \\
= & \lim \limits_{x \rightarrow 1} \textcolor{springgreen}{\frac{f(x)-1}{\ln x} \cdot \frac{\ln x}{x-1} } \\
= & 2 \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{x-1} \\
= & 2 \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{ \ln [ \textcolor{springgreen}{(x-1)+1} ]}{x-1} \\
= & 2 \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{x-1}=2
\end{aligned}
$$

于是可知，对应的切线方程为：

$$
y-1=2(x-1) \Rightarrow
$$

$$
y=2 x-1
$$

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