一、题目
已知曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的曲率圆为 $(x – 1)^{2} + (y – 1)^{2} = 2$, 则：
$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{(1 + x)^{x} – 1} = ?
$$
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二、解析 
注意：
1. 有关曲率、曲率圆的基础知识可以查看这篇文章;
2. 有关曲率圆方程的基础知识可以查看这篇文章.
首先，由题可知，$y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 处有定义，因此：
$$
f(0) = 0
$$
又由图象和几何关系可知，$y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的斜率为 $-1$, 即：
$$
f^{\prime}(0) = -1
$$
接着，由曲率圆方程 $(x – 1)^{2} + (y – 1)^{2} = 2$ 可知，曲率半径为：
$$
R = \sqrt{2}
$$
因此：
$$
\begin{aligned}
K & = \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\
& = \frac{|f^{\prime \prime}(0)|}{[1 + f^{\prime 2} (0)]^{3/2}} \\ \\
& = \frac{|f^{\prime \prime}(0)|}{2 \sqrt{2}}
\end{aligned}
$$
于是：
$$
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|f^{\prime \prime}(0)|}{2 \sqrt{2}} \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{1} = \frac{|f^{\prime \prime}(0)|}{2} \Rightarrow
$$
$$
|f^{\prime \prime}(0)| = 2
$$
由于 $y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 附近是一个凹函数，因此，其二阶导一定不小于零，即：
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
f^{\prime \prime}(0) = 2
}
}
$$
又：
$$
\begin{aligned}
I & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{(1 + x)^{x} – 1} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{e^{x \ln (1+x)} – 1} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{ x \ln (1+x) } \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{ x^{2}} \Rightarrow \text{ 洛必达运算 } \Rightarrow \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x) + 1}{2x} \Rightarrow \text{ 洛必达运算 } \Rightarrow \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} = \frac{2}{2} = 1
\end{aligned}
$$
补充：
对于 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x) + 1}{2x}$ 还可以有如下解法：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x) + 1}{2x} \Rightarrow \text{ 导数的定义 } \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x) – f^{\prime}(0)}{x} =
$$
$$
\frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} f^{\prime \prime}(0) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1
$$
