正定矩阵的伴随矩阵一定是正定矩阵吗?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,$A$ 是 $n$ 阶正定矩阵,请证明其伴随矩阵 $A^{*}$ 也是正定矩阵。

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由 $A$ 是正定矩阵,我们可以得出如下结论:

  1. $A^{\top} = A$
  2. $A$ 可逆,即 $|A| > 0$
  3. $A$ 的特征值全都大于零

接下来是具体的证明方法:

由于:

$$
A^{*} = |A| A^{-1}
$$

因此,若 $A$ 的特征值为:

$$
\begin{cases}
\lambda_{1} > 0 \\
\lambda_{2} > 0 \\
\vdots \\
\lambda_{n} > 0
\end{cases}
$$

则一定有 $A^{*}$ 的特征值为:

$$
\begin{cases}
\frac{|A|}{\lambda_{1}} > 0 \\
\frac{|A|}{\lambda_{2}} > 0 \\
\vdots \\
\frac{|A|}{\lambda_{n}} > 0
\end{cases}
$$

于是可知,矩阵 $A^{*}$ 也是正定矩阵。

由于 $A$ 对称且可逆,因此,一定存在可逆矩阵 $C$, 使得:

$$
A = C^{\top} C
$$

因此:

$$
\begin{aligned}
A^{*} & =|A| A^{-1} \\
& = |A| (C^{\top} C) ^{-1} \\
& = |A| C^{-1} (C^{\top})^{-1} \\
& = [\sqrt{|A|} C^{-1}] \cdot [ \sqrt{|A|} (C^{-1})^{\top} ] \\
& = [\sqrt{|A|} C^{-1}] \cdot [\sqrt{|A|} C^{-1}]^{\top}
\end{aligned}
$$

由于 $\sqrt{|A|} C^{-1}$ 也是可逆矩阵,若令 $D^{\top}$ $=$ $\sqrt{|A|} C^{-1}$, 则:

$$
A^{*} = D^{\top} D
$$

因此,$A^{*}$ 也是正定矩阵。

已知有任意非零向量 $x \neq 0$, 则:

$$
\begin{aligned}
x^{\top} A^{*} x & = x^{\top} |A| A^{-1} x \\
& = |A| x^{\top} \textcolor{orangered}{ A^{-1} } x \\
& = |A| x^{\top} \textcolor{orangered}{ A^{-1} A A^{-1} } x \\
& = |A| (A^{-1} x)^{\top} A (A^{-1} x)
\end{aligned}
$$

由于 $A^{-1}$ 是正定矩阵,因此,向量 $A^{-1} x \neq 0$, 又由于 $A$ 也是正定矩阵,因此,根据正定矩阵的定义,有:

$$
(A^{-1} x)^{\top} A (A^{-1} x) > 0
$$

于是:

$$
x^{\top} A^{*} x = |A| (A^{-1} x)^{\top} A (A^{-1} x) > 0
$$

综上可知,$A^{*}$ 也是正定矩阵。

拓展资料 拓展资料 - 荒原之梦

  1. 关于正定矩阵及其衍生矩阵的两条重要结论