通过转化为函数的方式求解抽象行列式的值

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $A$ 是 $3$ 阶矩阵,且 $|A+E| = 1$, $A+2E = 1$, $|A+3E| = 1$, 则 $A+4E = ?$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

观察下面的式子可知,只有矩阵 $E$ 前面的系数是“变化”的:

$$
\begin{cases}
|A + E| = 1 \\
|A + 2E| = 1 \\
|A + 3E| = 1 \\
|A + 4E| = ?
\end{cases}
$$

于是,我们可以定义如下以 $k$ 为变量的函数:

$$
f(k) = |A + k E|
$$

即:

$$
f(k) = \begin{vmatrix}
a_{11} + k & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} + k & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} + k
\end{vmatrix}
$$

上式展开式之后,为如下形式,其中 $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ 为常数:

$$
f(k) = a_{0} k^{3} + a_{1} k^{2} + a_{2} k + a_{3}
$$

为了计算简便,我们可以将上式整体除以 $a_{0}$, 并重新定义 $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, 进而可得下式:

$$
f(k) = k^{3} + a_{1} k^{2} + a_{2} k + a_{3}
$$

又由题可知:

$$
\begin{cases}
f(1) = 1 \\
f(2) = 1 \\
f(3) = 1
\end{cases}
$$

即:

$$
\begin{cases}
1 + a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1 \\
8 + 4a_{1} + 2a_{2} + a_{3} = 1 \\
27 + 9a_{1} + 3a_{2} + a_{3} = 1
\end{cases}
$$

联立解得:

$$
\begin{cases}
a_{1} = -6 \\
a_{2} = 11 \\
a_{3} = -5
\end{cases}
$$

于是可得:

$$
f(k) = k^{3} – 6 k^{2} + 11 k – 5
$$

因此,当 $k = 4$ 时,有:

$$
f(4) = 64 – 96 + 44 – 5 = 7
$$

观察下面的式子可知,只有矩阵 $E$ 前面的系数是“变化”的:

$$
\begin{cases}
|A + E| = 1 \\
|A + 2E| = 1 \\
|A + 3E| = 1
\end{cases} \tag{1}
$$

于是,我们可以定义如下以 $k$ 为变量的函数:

$$
f(k) = |A + k E|
$$

而通过观察规律可知,将方程定义为如下形式,刚好可以满足上面的 $(1)$ 式

$$
f(k) = (k – 1) (k – 2) (k – 3) + 1
$$

于是,当 $k = 4$ 时:

$$
f(4) = 3 \cdot 2 \cdot 1 + 1 = 7
$$


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