绝对值函数怎么求导？

一、题目

设函数 $f(x)$ 可导, $|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导, 则 $(\quad)$

难度评级：

二、解析

方法一：特例法

取 $f(x) = x$, 则 $|f(x)| = |x|$ 在 $x = 0$ 处不可导，完全满足题目条件。

且：

$$
\begin{cases}
f(0) = 0 \\
f^{\prime} (0) = 1 \neq 0
\end{cases}
$$

于是可知，本题应选：D.

方法二：分析法

要想对绝对值函数求导，首先需要利用根号和平方做恒等变形：

$$
|f(x)| = \sqrt{f^{2}(x)}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
(|f(x)|)^{\prime} = & (\sqrt{f^{2}(x)})^{\prime} \\
= & \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{f^{2} (x)}} \cdot 2 f(x) \cdot f^{\prime}(x) \\
= & \textcolor{orangered}{\frac{f(x) f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^{2} (x)}}, \ f(0) \neq 0}
\end{aligned}
$$

由于 $|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导，也就是 $(|f(0)|)^{\prime}$ $=$ $\frac{f(0) f^{\prime}(0)}{\sqrt{f^{2} (0)}}$ 不存在。

但是，由于 $f(x)$ 可导，因此，当 $f(0) \neq 0$ 的时候，$\frac{f(0) f^{\prime}(0)}{\sqrt{f^{2} (0)}}$ $=$ $\frac{f(0) f^{\prime}(0)}{f (0)}$ $=$ $f^{\prime}(0)$ 是存在的。

于是，为了使 $|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导，只能有：

$$
\textcolor{springgreen}{
f(0) = 0
}
$$

接下来，我们开始分析 $f^{\prime}(0)$ 的取值特征。

为了表述方便，首先，令 $g(x) = |f(x)|$, 则：

$$
\begin{aligned}
g^{\prime}(0^{+}) = (|f(x)|)^{\prime} = & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g(x) – g(0)}{x – 0} \\
= & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|f(x)| – |f(0)|}{|x|} \\
= & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|f(x)| – 0}{|x|} \\
= & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left| \frac{f(x)}{x} \right| \\
= & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left| \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \right| = \left| f^{\prime}(0^{+}) \right|
\end{aligned}
$$

同理：

$$
\begin{aligned}
g^{\prime}(0^{-}) = (|f(x)|)^{\prime} = & \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{g(x) – g(0)}{x – 0} \\
= & \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|f(x)| – |f(0)|}{-|x|} \\
= & \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|f(x)| – 0}{-|x|} \\
= & – \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \left| \frac{f(x)}{x} \right| \\
= & – \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \left| \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} \right| = – \left| f^{\prime}(0^{-}) \right|
\end{aligned}
$$

为了保证 $|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导，必须有：

$$
g^{\prime}(0^{+}) \neq g^{\prime}(0^{-})
$$

即：

$$
\left| f^{\prime}(0^{+}) \right| \neq – \left| f^{\prime}(0^{-}) \right| \Rightarrow
$$

$$
\left| f^{\prime}(0) \right| \neq – \left| f^{\prime}(0) \right|
$$

由于 $f(x)$ 可导，因此：$f^{\prime}(0^{+})$ $=$ $f^{\prime}(0^{-})$

因此：

$$
\textcolor{springgreen}{
f^{\prime}(0) \neq 0
}
$$

综上可知，本题应选：D.

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