什么样的矩阵乘以其转置矩阵得正定矩阵？

一、题目

已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，非齐次线性方程组 $Ax = \beta$ 有唯一解，请证明矩阵 $A^{\top} A$ 是正定矩阵。

难度评级：

二、解析

要证明一个矩阵是正定矩阵，一般情况下先证明其是对称矩阵：

由于：

$$
(A^{\top}A)^{\top} = A^{\top} (A^{\top})^{\top} = A^{\top} A
$$

因此可知，矩阵 $A^{\top} A$ 是一个对称矩阵。

又因为非齐次线性方程组 $Ax = \beta$ 有唯一解，于是可知，矩阵 $A$ 是一个可逆的满秩矩阵，即：

$$
r(A) = r(A, \beta) = n
$$

因此可知，对于齐次线性方程组 $Ax = 0$ 而言，只有零解 $x = 0$ 才能使之成立，即：

$$
x = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix}
$$

于是，任意 $n$ 维列向量 $x \neq 0$, 都会使得下式成立：

$$
\textcolor{springgreen}{
Ax \neq 0 \tag{1}
}
$$

进而，任意 $n$ 维列向量 $x \neq 0$, 也会使得下式成立：

$$
\textcolor{springgreen}{
Ax \neq 0 \Rightarrow (Ax)^{\top} \neq 0^{\top} \Rightarrow x^{\top} A^{\top} \neq 0 \tag{2}
}
$$

联立 $(1)$, $(2)$ 两式：

$$
\begin{cases}
Ax \neq 0 \\
x^{\top} A^{\top} \neq 0
\end{cases} \Rightarrow
$$

$$
x^{\top} A^{\top} Ax \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
(Ax) ^{\top} (Ax) \neq 0 \tag{3}
}
$$

又因为转置运算不会改变向量或者矩阵内部元素的正负（只是行变列或者列变行），因此，在上面的 $(3)$ 式中，行向量 $(Ax)^{\top}$ 和列向量 $(Ax)$ 中对应的元素要么都是正数，要么都是负数，又因为没有为零的元素，于是：

$$
\textcolor{orangered}{
\boldsymbol{
(Ax) ^{\top} (Ax) > 0
}
}
$$

又：

$$
x^{\top} (A^{\top} A) x = (Ax) ^{\top} (Ax)
$$

即：

$$
x^{\top} (A^{\top} A) x > 0
$$

根据定义可知，$x^{\top} (A^{\top} A) x$ 是正定二次型，二次型矩阵 $A^{\top} A$ 是一个正定矩阵。

总结：
根据本题中的证明可知，若 $A$ 是满秩矩阵，则 $A^{\top} A$ 一定是一个正定矩阵。

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