什么样的矩阵乘以其转置矩阵得正定矩阵?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵,非齐次线性方程组 $Ax = \beta$ 有唯一解,请证明矩阵 $A^{\top} A$ 是正定矩阵。

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

要证明一个矩阵是正定矩阵,一般情况下先证明其是对称矩阵:

由于:

$$
(A^{\top}A)^{\top} = A^{\top} (A^{\top})^{\top} = A^{\top} A
$$

因此可知,矩阵 $A^{\top} A$ 是一个对称矩阵。

又因为非齐次线性方程组 $Ax = \beta$ 有唯一解,于是可知,矩阵 $A$ 是一个可逆的满秩矩阵,即:

$$
r(A) = r(A, \beta) = n
$$

因此可知,对于齐次线性方程组 $Ax = 0$ 而言,只有零解 $x = 0$ 才能使之成立,即:

$$
x = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{pmatrix}
$$

于是,任意 $n$ 维列向量 $x \neq 0$, 都会使得下式成立:

$$
\textcolor{springgreen}{
Ax \neq 0 \tag{1}
}
$$

进而,任意 $n$ 维列向量 $x \neq 0$, 也会使得下式成立:

$$
\textcolor{springgreen}{
Ax \neq 0 \Rightarrow (Ax)^{\top} \neq 0^{\top} \Rightarrow x^{\top} A^{\top} \neq 0 \tag{2}
}
$$

联立 $(1)$, $(2)$ 两式:

$$
\begin{cases}
Ax \neq 0 \\
x^{\top} A^{\top} \neq 0
\end{cases} \Rightarrow
$$

$$
x^{\top} A^{\top} Ax \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
(Ax) ^{\top} (Ax) \neq 0 \tag{3}
}
$$

又因为转置运算不会改变向量或者矩阵内部元素的正负(只是行变列或者列变行),因此,在上面的 $(3)$ 式中,行向量 $(Ax)^{\top}$ 和列向量 $(Ax)$ 中对应的元素要么都是正数,要么都是负数,又因为没有为零的元素,于是:

$$
\textcolor{orangered}{
\boldsymbol{
(Ax) ^{\top} (Ax) > 0
}
}
$$

又:

$$
x^{\top} (A^{\top} A) x = (Ax) ^{\top} (Ax)
$$

即:

$$
x^{\top} (A^{\top} A) x > 0
$$

根据定义可知,$x^{\top} (A^{\top} A) x$ 是正定二次型,二次型矩阵 $A^{\top} A$ 是一个正定矩阵。


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