使正定矩阵 A 和 B 相乘所得的矩阵也是正定矩阵的充要条件是什么?

一、题目题目 - 荒原之梦

若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵,请证明 $AB$ 也为正定矩阵的充要条件是 $AB = BA$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

若 $A$, $B$, $AB$ 都是正定矩阵,则根据正定矩阵的对称性,有:

$$
\begin{aligned}
A^{\top} & = A \\
B^{\top} & = B \\
(AB)^{\top} & = AB
\end{aligned}
$$

又因为:

$$
\begin{aligned}
AB & = (AB)^{\top} \\
& = B^{\top} A^{\top} \\
& = BA
\end{aligned}
$$

因此可知,充分性成立。

设 $\lambda$ 是矩阵 $AB$ 的任意一个特征值,$\alpha$ 是与之对应的特征向量,则有:

$$
AB \alpha = \lambda \alpha, \ \alpha \neq 0
$$

因为 $A$ 和 $B$ 都是正定矩阵,因此,$A$ 和 $B$ 的特征值都不可能为零,则 $AB$ 对应的特征值也不可能为零,进而可知,不可能存在对应的零向量 $\alpha = 0$

进而有:

$$
B \alpha = \lambda A^{-1} \alpha \Rightarrow
$$

$$
\alpha^{\top} B \alpha = \alpha^{\top}(\lambda A^{-1} \alpha) = \lambda (\alpha^{\top} A^{-1} \alpha)
$$

又由于 $B$ 是正定矩阵,因此,对任意的 $\alpha \neq 0$, 均有:

$$
\alpha^{\top} B \alpha > 0 \tag{1}
$$

即:

$$
\lambda (\alpha^{\top} A^{-1} \alpha) > 0 \tag{2}
$$

同理,由于 $A$ 是正定矩阵,其逆矩阵 $A^{-1}$ 也是正定矩阵,因此,对任意的 $\alpha \neq 0$, 均有:

$$
\alpha^{\top} A^{-1} \alpha > 0 \tag{3}
$$

结合 $(2)$ 式和 $(3)$ 式可知,此时:

$$
\lambda > 0
$$

因此,矩阵 $AB$ 是正定矩阵。


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