关于正定矩阵及其衍生矩阵的两条重要结论

一、前言 前言 - 荒原之梦

假如 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $m$ 阶矩阵 $B$ 均为正定矩阵,则其衍生矩阵会有那些结论呢?

二、正文 正文 - 荒原之梦

若矩阵 $A$ 为正定矩阵,则以下矩阵也都是正定矩阵:

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{cases}
A^{\top} \\
A^{-1} \\
A^{*} \\
k A, \ (k > 0) \\
A^{l}, \ (l \ \text{为正整数}) \\
C^{\top} A C, \ (C \ \text{为可逆矩阵})
\end{cases}
}
$$

若 $A$ 和 $B$ 都是正定矩阵,则下列矩阵一定是正定矩阵:

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
& A+B \\ \\
& \begin{pmatrix}
A & * \\
* & B
\end{pmatrix}
\end{aligned}
}
$$

但是下列矩阵不一定还是正定矩阵:

$$
\textcolor{orangered}{
\begin{aligned}
& A-B \\ \\
& \begin{pmatrix}
* & A \\
B & *
\end{pmatrix}
\end{aligned}
}
$$

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