不对称的矩阵不是正定矩阵,主对角线上有负数或者零元素的矩阵也不是正定矩阵

一、题目题目 - 荒原之梦

下列矩阵中为正定矩阵的是哪一个?

A. $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{lll}8 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 5\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \\ 3 & 4 & -6\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{lll}5 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 6\end{array}\right)$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

A 选项中的矩阵不是关于主对角线对称的矩阵,因此一定不是正定矩阵。

B 选项中的矩阵主对角线上存在负数元素 $a_{33} = -6$, 因此一定不是正定矩阵。

D 选项中的矩阵主对角线上存在零元素 $a_{22} = 0$, 因此一定不是正定矩阵

C 选项中的元素都关于主对角线对称,且主对角线上不存在为负数或者零的元素,因此,我们只能通过计算其顺序主子式的方式判断该矩阵是否是正定矩阵:

$$
\begin{aligned}
|8| > & \ 0 \\
\left|\begin{array}{ll}8 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right| = & \ 8-1=7>0 \\
\left|\begin{array}{ccc}8 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 5\end{array}\right| = & \ 40-2-2-4-5-8=19>0
\end{aligned}
$$

综上可知,只有 C 选项中的矩阵是正定矩阵。


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