「荒原之梦考研数学」文章

一、题目

设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x^{2}+y^{2}-x y=1$, $\ x^{2}+y^{2}-x y=2$ 与直线 $y=\sqrt{3} x$, $\ y=0$ 围成, 计算 $\iint_{D} \frac{1}{3 x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.

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一、题目

已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leq y \leq \frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}}\right., \ x \geq 1\right \}$,

(1) 求 $\mathrm{D}$ 的面积.

(2) 求 $\mathrm{D}$ 绕 $\mathrm{x}$ 轴旋转所成旋转体的体积.

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一、题目

求函数 $f(x, y)$ $=$ $x e^{\cos y}+\frac{x^{2}}{2}$ 的极值.

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一、题目

设曲线 $\mathrm{L}: \ y=y(x) \ (x>e)$ 经过点 $\left(e^{2}, 0\right), \mathrm{L}$ 上任一点 $P (x, y)$ 到 $Y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $Y$ 轴上的截距.

(1) 求 $y(x)$.

(2) 在 $\mathrm{L}$ 上求一点, 使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小, 并求此最小面积.

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一、题目

设连续函数 $f(x)$ 满足: $f(x+2)-f(x)=x, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{~ d} x=0$, 则 $\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{~ d} x=?$

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一、题目

曲线 $3 x^{3}=y^{5}+2 y^{3}$ 在 $x=1$ 对应点处的法线斜率为（ ）

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一、题目

设函数 $z=z(x, y)$ 由 $e^{z}+x z=2 x-y$ 确定, 则 $\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x}\right|_{(1,1)}=?$

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一、题目

曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^{x} \sqrt{3-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 的弧长为多少？

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一、题目

当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=e^{x^{2}}-\cos x$ 是等价无穷小,则 $a b=?$

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