一棵树，就是要长大成材，枝繁叶茂，它不需要艳丽的花朵，也不要精致的身段；
人也是一样，人的生活态度同样类似。
花哨，通常意味着无用，只有用质朴和专注将事情做到极致，才能发挥出最大的作用。
峰说峰语：把该做的事做到极致
「荒原之梦考研数学」文章
为什么样本值减去样本均值后求和等于零？
一、前言 
在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用传统方法和“峰式”画图的方法证明概率论中下面这个公式：
$$
\sum_{i=1}^{n} (\xi_{i} – \bar{\xi}) = \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} – n \bar{\xi} = 0
$$
其中，$\bar{\xi}$ 为样本 $\left( \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \cdots, \xi_{n} \right)$ 的均值。
继续阅读“为什么样本值减去样本均值后求和等于零？”峰说峰语：“概率”统治下的世界，是偶然中的必然，也是必然中的偶然
“概率”是用于构建宇宙的一个神奇工具，相比于各种物理和数学定理，“概率”是如此直接，又如此飘忽不定。
每一个人的生老病死既是偶然，又是必然——
在微观上，发生了就是 100%, 没有发生就是 0%, 一切看上去就是某种“必然”。
在宏观上，发生与否却存在时时在变化，永远也不能确定的“概率值”，既不是 100%, 也不是 0%, 一切又都笼罩在“偶然”的薄雾之中。
然而，当我们进一步将目光放大到整个宇宙，却发现，宇宙中存在几乎完美的常数，各种规律之间存在几乎无缝衔接的互动，“偶然”似乎再次消失。
所以，必然嵌套着偶然，偶然嵌套着必然，宏大的宇宙与微小的内核似乎都是克莱因瓶上的两点，是开始，亦是结束。
基于条件概率详解全概率公式的证明
一、前言
在另一篇文章中，「荒原之梦考研数学」通过图解的方式证明了全概率公式，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用传统的证明方法实现对全概率公式的证明：
$$
\begin{aligned}
P \left( A \right) & = \sum_{i=1}^{n} P \left( B_{i} \right) P \left( A \mid B_{i} \right) \\ \\
P \left( B \right) & = \sum_{i=1}^{n} P \left( A_{i} \right) P \left( B \mid A_{i} \right)
\end{aligned}
$$
峰说峰语：人生就是不断的较量
人生少有的是顺风顺水。
人生更多的，是逆风而行。
也许——
风，会侵蚀你的面庞；
雨，会打湿你的衣衫。
也许——
湍急的河水会阻隔你的去路；
高耸的山峰会遮蔽你的目光。
但是，这就是一个更强大、更健壮的你，必须要经历的较量！
对数“和差”公式的完整证明
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过完善的逻辑推理，分别证明以下两个对数的“和”与“差”公式：
$$
\begin{aligned}
\log_{\alpha} M N & = \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} N \\
\log_{\alpha} \frac{M}{N} & = \log_{\alpha} M – \log_{\alpha} N
\end{aligned}
$$
峰说峰语：智慧是对世界的解构能力
无论我们观测与否，世界就是世界。
然而，人类所能直接感知的世界，是被“封装”之后的世界，是一个更简单，更自动化的世界。
但是，在这片表面的光滑之下，暗藏着许多我们尚未探索到的秘境。
所以，如何结构世界，认识世界的运行逻辑，就成为了一项深邃而富有挑战的工作。
取对数的作用：压缩数值、变非线性为线性
一、前言
意大利物理学家、数学家和天文学家伽利略曾经说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”，同时，在我们学习数学或者使用数学的时候，也常常会遇到“对数”。
但是，取对数到底有什么用呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们揭开对数的“神秘”面纱。
正文
压缩数值
对数的其中一个作用就是可以“压缩”数值，或者说，对数可以反应较大数字的“量级”。
例如，对于数字 $123456$ 和 $654321$ 是两个相差特别大的数字，如果要比较这样的数字的大小，或者将其绘制在坐标图上，都不是很好表示，但如果我们对其取对数，就可以在减少这样的差异，并且不改变原有的大小关系（因为对数函数是一个单调递增的函数，可以保留原有的相对大小关系）：
$$
\log_{10}^{123456} \simeq 5.0915
$$
$$
\log_{10}^{654321} \simeq 5.8158
$$
在上面做数值压缩的过程中，我们使用的是底数为 $10$ 的“常用对数”，因为常用的数字就是十进制的，用底数为 $10$ 的对数可以很方便的显示出原有数字的量级（一个“量级”就是十进制的一个“位”，即千位、百位和十位等），例如：
$$
\log_{10}^{6 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.7782
$$
$$
\log_{10}^{9 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.9542
$$
$$
\log_{10}^{2 \times 10^{\textcolor{orangered}{9}}} \simeq \textcolor{orangered}{9}.3010
$$
当然，用其他底数也可以大致反映出不同十进制数字的相对大小，但不能反映出十进制数字原本的量级：
$$
\log_{\mathrm{e}}^{6 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.2124
$$
$$
\log_{\mathrm{e}}^{9 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.6179
$$
$$
\log_{\mathrm{e}}^{2 \times 10^{\textcolor{pink}{9}}} \simeq \textcolor{tan}{21}.4164
$$
Note
在实际应用中，至少下面的数值或者表示方法都使用了对数：
zhaokaifeng.com
⁕ 里氏地震震级（用于描述地震烈度）
⁕ 分贝（用于音量）
⁕ 奈培（用于电功率）
⁕ 音分、小二度、全音及纯八度等（用于音乐中的相对音高）
⁕ Logit（用于统计学的发生比）
⁕ 巴勒莫撞击危险指数（用于表示近地天体撞击地球的危险几率）
⁕ 对数时间线
⁕ 焦比（用于计算摄影中的曝光量）
⁕ 熵（用于热力学）
⁕ 信息（用于信息论）
⁕ 土壤的颗粒尺寸分布的曲线
⁕ 对数星图（用于表示星体之间的相对位置）
⁕ 能量密度（用于铀和化石燃料能量密度的比较）
⁕ pH 值（用于表示酸性）
⁕ 视星（用于表示恒星亮度）
⁕ 克伦宾尺度（用于地质学中表示粒径）
⁕ 吸光度（用于描述物体的透光性能）
变非线性为线性
此外，取对数的另一个作用就是将非线性的式子转换为线性的式子。
例如，当 $Z$ 为变量，$n$ 为常数的时候，”$Z^{n}$” 不是一个线性表达式，但是，对其取对数之后，就可以转变为线性表达式 “$n \log Z$”:
$$
\log Z^{n} = n \log Z
$$
同样的，当 $x$ 和 $y$ 为变量的时候，”$xy$” 不是一个线性表达式，但是对其取对数之后，就可以转变为线性表达式 “$\log x$ $+$ $\log y$”:
$$
\log (xy) = \log x + \log y
$$
线性表达式在计算上更加简单，在人工智能领域有着广泛且深入的应用。
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
峰说峰语：人性的“善”是反自然的，但这正是人性的光辉之处
“善良”往往意味着对资源的出让，这在大自然的“弱肉强食”丛林法则中，是不被允许的异类。
然而，正是人性的“善”，点缀着大自然的黑暗丛林，如同闪烁的繁星，弥足珍贵，熠熠生辉。
用“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律
一、前言
当矩阵的乘法和转置运算结合的时候，有如下运算律：
$$
\textcolor{yellow}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$
从上面这条定理出发，我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如，若令矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C} \boldsymbol{D}$, 则：
$$
\begin{aligned}
& \ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})]^{\top} = (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{D}]^{\top} = \boldsymbol{D}^{\top} \boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\end{aligned}
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。
继续阅读“用“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律”zhaokaifeng.com
峰说峰语：人类的使命就是“勾勒”世界
无论是美术、物理，还是数学；无论是蹒跚学步的孩童，还是遥望星辰的科学家——
勾画和认识世界，仿佛就是我们与生俱来的目标。
也许这是一种“宿命”，但也许，这是更伟大进程的前奏。
用一般具体的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一般具体的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：
$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$
峰说峰语：每个人都是自己思维的“困兽”
每个人都有自己的优点和缺点，有自己的处世哲学，可能做出正确或者错误的抉择——
所有这些，都是我们思维的表现，思维束缚着我们，也定义着我们——
我们有时候可能会想要冲破思维的枷锁，意图获得更加“自由”的人生——
然而，在思维的牢笼之外，其实是一片虚无，在这片虚无之中，关于“我是谁”已经没有定义，“自由”也就失去了所有意义。
用完全抽象的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用完全抽象的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：
$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$
峰说峰语：虚伪一定是错误的吗？
世界上有很多被我们称之为“虚”或者“假”的事物——
虚伪的人、虚荣的人、虚假的谎言、虚情的善意······
但什么才是“虚假”呢？
其实不难发现，站在“定义者”的角度，我们通常会把对定义者不利的称之为“虚假”，而将对定义者有利的称之为“真实”。
但是，对于站在定义者对立面的“定义者”而言，有利与不利的定义，则截然相反。
很显然，对于熙熙攘攘的世界，一定存在着对立程度千变万化的定义者，于是，理论上就存在着千变万化的对“虚假”与“真实”的各种定义。
然而，由于每个人都想站在道德的制高点，所以我们在具体定义“虚假”和“真实”的时候，会把“被定义者”在整个世界的“补集”看作与自己具有相同的对立面，从而产生了原本仅适用于个人，却被个人认为适用于全世界的“虚假”与“真实”的定义。
所以，虚伪一定是错误的吗？
答案是：不一定。
所以，虚伪一定是正确的吗？
答案是：也不一定。