考研数学 – 第 93 页 – 荒原之梦

做复合函数逆复合运算的时候，该不该用换元法？

逆复合运算

我们知道，如果将 $g \left( x \right) = x^{2} + 16$ 代入到函数 $f \left( x \right)$ 中，就得到了复合函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$.

如果要给函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$ 换一个表达上的形式，则可以写成：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f \left( x^{2} + 1 \right)
}
$$

上面的过程是将函数 $f(x)$ 变成函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$, 我们称之为“ 复合运算 ”；如果是将函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$ 变成函数 $f \left( x \right)$, 就是本文所说的“ 逆复合运算 ”。

在本文中，我们讨论的重点是，在对形如 “$f \left( x^{2} + 1 \right)$” 这样的复合函数进行逆复合运算的时候，什么情况下适合用换元法，什么情况下不适合用换元法。

要计算 $\infty-\infty$ 型未定式，一般要先转为 $\infty / \infty$ 或 $0/0$ 型未定式

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\ln (x + \sqrt{1+x^{2}})} – \frac{1}{\ln (1+x)} \right) \\ \\
I_{2} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{x^{2}} – \frac{1}{\sin^{2} x} \right)
\end{aligned}
$$

容易想的思路不容易做，容易做的思路不容易想

一、题目

荒原之梦考研数学

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\arctan x}{x} \right)^{\frac{1}{x^{2}}} = ?
$$

微分方程的通解一定要写成标准的函数形式吗？

一、题目

微分方程 $y \mathrm {~d} x + \left( x^{2} – 3x \right) \mathrm{~d} y = 0$ 的通解为？

难度评级：

为什么对 $y$ 的积分和对 $x$ 的积分可以相等？

一、前言

已知微分方程中 $y$ 是 $x$ 的函数，即 $y = y(x)$, 那么，为什么对微分方程 $\frac{y^{\prime}}{y}$ $=$ $\frac{-1}{x}$ 左右两边同时进行的积分对应的式子是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
}
$$

而不是：

$$
\textcolor{yellow}{
\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} x = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
}
$$

同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」也会从底层原理的角度，给同学们讲清楚为什么式子 $\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$ 和 $\int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x$ 是相等的。

在求解过程中被“隐”去的量，其实是不需要求解的

一、题目

若 $y=y(x)$ 为二阶常系数微分方程 $\frac{1}{2} y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y$ $=$ $\mathrm{e}^{16x}$, 且满足初始条件 $y(0)$ $=$ $y^{\prime} (0)$ $=$ $0$ 的特解，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x^{2})}{y(x)} = ?
$$

为什么二阶微分方程中解的二阶导函数的连续性只取决于右端项的连续性？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们讲解，在二阶常系数微分方程 $y ^{\prime \prime} + p y ^{\prime} + qy$ $=$ $f(x)$ 中，解的二阶导函数 $y ^{\prime \prime}$ 的连续性如何判断的问题。

其中，$p$ 和 $q$ 为常数，$f(x)$ 为微分方程的右端项。

加减运算对函数连续性的影响

一、前言

假设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可能是连续函数，也可能含有可去间断点，或者跳跃间断点，或者无穷间断点，或者震荡间断点，那么，如何判断函数 $f(x) \pm g(x)$ 的连续性？

Tip

阅读本文前，首先需要对函数的间断点有一个整体的认识，相关内容可以查阅《函数间断点的分类与图象示例》这篇文章。
zhaokaifeng.com

函数间断点的分类与图象示例

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过直观形象的图示，为同学讲解清楚函数的间断点。

关于可导必连续的一个基于积分平滑性的证明

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助积分的平滑性来证明“可导必连续”这一结论，有关该结论的另一种证明方式，可以查阅《关于可导必连续的一个传统方式证明》这篇文章。

关于可导必连续的一个传统方式证明

一、前言

所谓“可导必连续”说的是，如果一个函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的导数 $f ^{\prime} (x_{0})$ 存在，那么，函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处一定是连续的。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过导数的定义证明上面的结论。

为什么积分运算具有使函数变得“平滑”的能力？

一、前言

积分运算具有使被积函数变得更加平滑的能力，但是，很多参考资料并没有从本质上解释清楚为什么积分具有“平滑”的作用，只是单纯的抛出了这一个结论。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从本质上阐述清楚积分为什么具有平滑的能力。

用函数图象看明白函数极值与数列极限之间的关系

一、题目

荒原之梦考研数学

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln x + \frac{1}{x}$.

(Ⅰ) 求 $f(x)$ 的最小值;

(Ⅱ) 设数列 ${ x_{n} }$ 满足条件 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$, 请证明 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ 存在, 并求该极限值.

难度评级：

对数可以将“指数因子”变成“乘数因子”

一、题目

荒原之梦考研数学

已知，数列 ${ x_{n} }$ 满足: $x_{1} > 0$, $x_{n}\mathrm{e}^{x_{n+1}}$ $=$ $\mathrm{e}^{x_{n}}-1$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$.

请证明数列 ${ x_{n} }$ 收敛，并求解 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$.

难度评级：

等价无穷小的本质：$x = 0$ 处斜率相等

一、前言

等价无穷小公式是考研数学中一个非常常用的工具。

但是，这些等价无穷小公式都是怎么来的呢？

如果说 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ 就意味着 $\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)$ 是等价无穷小，但是，为什么式子 $\frac{\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)}{\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)}$ 就等于 $1$ 呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助“一点处的斜率”这一概念，为同学讲清楚等价无穷小公式的来龙去脉。当然，同学们也可以借助本文中使用的方法，来推导和记忆等价无穷小公式。