为什么二阶微分方程中解的二阶导函数的连续性只取决于右端项的连续性？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们讲解，在二阶常系数微分方程 $y ^{\prime \prime} + p y ^{\prime} + qy$ $=$ $f(x)$ 中，解的二阶导函数 $y ^{\prime \prime}$ 的连续性如何判断的问题。

其中，$p$ 和 $q$ 为常数，$f(x)$ 为微分方程的右端项。

二、正文

首先，由 $y ^{\prime \prime} + p y ^{\prime} + qy$ $=$ $f(x)$, 可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
y ^{\prime \prime} = f(x) – p y ^{\prime} – q y
} \tag{1}
$$

首先，我们来研究函数 $y ^{\prime}$ 和 $y$ 的连续性：

1. 由于 $y ^{\prime}$ 存在，根据可导必连续的性质，$y$ 一定连续；
2. 由于 $y ^{\prime \prime}$ 存在，根据可导必连续的性质，$y ^{\prime}$ 一定连续；

接着，根据《加减运算对函数连续性的影响》这篇文章可知，如果 $f(x)$ 也是连续函数，那么 $y ^{\prime \prime}$ 就一定时连续函数，如果 $f(x)$ 不是连续函数，那么 $y ^{\prime \prime}$ 就一定不是连续函数——

也就是说，$y ^{\prime \prime}$ 在点 $x_{0}$ 处或者区间 $[a, b]$ 上的连续性，只取决于微分方程的右端项 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处或者区间 $[a, b]$ 上的连续性——

• 如果 $f(x)$ 连续，则 $y ^{\prime \prime}$ 也连续；
• 如果 $f(x)$ 不连续，则 $y ^{\prime \prime}$ 也不连续。

简单地说就是：

$f(x)$ 和 $y ^{\prime \prime}$ 具有相同的连续性与非连续性。

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