加减运算对函数连续性的影响

一、前言

假设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可能是连续函数，也可能含有可去间断点，或者跳跃间断点，或者无穷间断点，或者震荡间断点，那么，如何判断函数 $f(x) \pm g(x)$ 的连续性？

Tip

阅读本文前，首先需要对函数的间断点有一个整体的认识，相关内容可以查阅《函数间断点的分类与图象示例》这篇文章。

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二、正文

为了明白加减运算对函数连续性的影响，我们首先需要需要明白加减运算会导致函数图象产生怎样的变化。

简单地说，对函数整体进行加减运算就会导致函数在平面直角坐标系的纵轴（$Y$ 轴）上产生向上或者向下的平移——

如图 01 所示，橙色的曲线表示函数 $f(x)$, 绿色的曲线表示函数 $f(x) + A$. 由于 $A$ 为常数，所以，绿色的曲线就是由橙色的曲线沿着坐标系 $Y$ 轴向上平移 $A$ 个单位产生的，这两条曲线的形状完全一致：

如图 02 所示，橙色的曲线表示函数 $f(x)$, 绿色的曲线表示函数 $f(x) + g(x)$. 由于函数 $g(x)$ 不是一个常数，所以，绿色曲线并不是仅仅由橙色曲线沿着坐标系 $Y$ 轴向上平移产生的，这两条曲线的形状并不完全一致：

于是可知，对函数 $f(x)$ 加上或者减去一个常数 $A$, 或者一个函数 $g(x)$, 可以导致函数 $f(x)$ 整体或者说组成函数 $f(x)$ 的点沿着坐标系的 $Y$ 轴向上或者向下移动，反映在函数图像上就是函数图像沿着坐标系 $Y$ 轴的平移或者变形。

同时，由于常数可以被看作是连续函数，如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 也都是连续函数的话，那么，无论是 $f(x) \pm A$, 还是 $f(x) \pm g(x)$, 实际上都是在使 $f(x)$ 上的点连续的发生变化，所得到的新函数也必然是连续的，即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\text{连续函数} \pm \text{连续函数} = \text{连续函数}
} \tag{1}
$$

与之对应，如果 $f(x)$ 不是一个连续函数，若要使通过 $f(x) \pm g(x)$ 得到的新函数是一个连续函数，那么，$g(x)$ 就必然也不是一个连续函数（两个不连续函数相加（减）也可能得到一个不连续函数），即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\textcolor{orange}{ \text{不连续函数} } \pm \textcolor{orange}{ \text{不连续函数} } \leadsto \begin{cases}
\text{连续函数} \\
\textcolor{orange}{\text{不连续函数}}
\end{cases}
} \tag{2}
$$

换句话说，一个连续函数和一个不连续函数相加（减），一定会得到一个不连续函数：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\textcolor{orange}{ \text{不连续函数} } \pm \text{连续函数} = \textcolor{orange}{ \text{不连续函数} }
} \tag{3}
$$

当然，对于上面的 $(2)$ 式中，$\textcolor{orange}{ \text{不连续函数} } \textcolor{lightgreen}{\pm} \textcolor{orange}{ \text{不连续函数} }$ $\textcolor{lightgreen}{\leadsto}$ $\textcolor{lightgreen}{\text{连续函数}}$ 这种可能性（下面用 “$\textcolor{lightgreen}{\leadsto}$” 连接的式子表示的也是一种“可能的结果”，而非 “$\textcolor{lightgreen}{=}$” 表示的“必然的结果”），也存在更细致的限制，即：

1. $\textcolor{orange}{\text{含有可去间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\text{含有可去间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\leadsto}$ $\textcolor{lightgreen}{\text{连续函数}}$

例如，当含有可去间断点的函数 $f(x) = 1$, $x \neq 0$ 和含有可去间断点的函数 $g(x) = \begin{cases}
x = 1, x = 0 \\
x = 0, x \neq 0
\end{cases}$ 相加，就得到了在点 $x = 0$ 处连续的函数：

$$
\textcolor{yellow}{
f(x) + g(x) = 1, x \in (- \infty, + \infty)
}
$$

2. $\textcolor{orange}{\text{含有跳跃间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\text{含有跳跃间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\leadsto}$ $\textcolor{lightgreen}{\text{连续函数}}$

例如，当含有跳跃间断点的函数 $f(x) = \begin{cases}
1, x \neq 0 \\
2, x = 0
\end{cases}$ 和含有跳跃间断点的函数 $g(x) = \begin{cases}
0, x \neq 0 \\
-1, x = 0
\end{cases}$ 相加，就得到了在点 $x = 0$ 处连续的函数：

$$
\textcolor{yellow}{
f(x) + g(x) = 1, x \in (- \infty, + \infty)
}
$$

3. $\textcolor{orange}{\text{含有无穷间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\text{含有无穷间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\leadsto}$ $\textcolor{lightgreen}{\text{连续函数}}$

例如，当含有无穷间断点的函数 $f(x) = \frac{-1}{x} – 1$ 和函数有无穷间断点的函数 $g(x) = \frac{1}{x} + 2$ 相加，就得到了在点 $x = 0$ 处连续的函数：

$$
\textcolor{yellow}{
f(x) + g(x) = 1, x \in (- \infty, + \infty)
}
$$

4. $\textcolor{orange}{\text{含有震荡间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\text{含有震荡间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\leadsto}$ $\textcolor{lightgreen}{\text{连续函数}}$

例如，当含有震荡间断点的函数 $f(x) = – \sin \frac{1}{x} – 1$ 和含有震荡间断点的函数 $g(x) = \sin \frac{1}{x} + 2$ 相加，就得到了在点 $x = 0$ 处连续的函数：

$$
\textcolor{yellow}{
f(x) + g(x) = 1, x \in (- \infty, + \infty)
}
$$

此外，如果我们认为所有含有间断点的函数 $\dot{K}_{a}(x)$ 都是由一个连续函数 $\bar{K}(x)$ 沿着某个方向以方式 $a$ “突变”所产生的。

Note

这里所说的方式 $a$ 指的是产生可去间断点的方式，或者产生跳跃间断点的方式，或者产生无穷间断点的方式，或者产生震荡间断点的方式。

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那么，如果要让这样的含有间断点的函数 $\dot{K}_{a}(x)$ “变回”连续函数 $\bar{K}(x)$, 就必须加上一个由原来的连续函数 $\bar{K}(x)$ 向相反方向以方式 $a$“突变”相同程度的函数 $\dot{K}_{a}^{-}(x)$，或者减去一个由原来的连续函数 $\bar{K}(x)$ 向相同方向以方式 $a$ “突变”相同程度的函数 $\dot{K}_{a}^{+}(x)$, 即：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& \dot{K}_{a}(x) + \dot{K}_{a}^{-}(x) = \bar{K}(x) \\ \\
& \dot{K}_{a}(x) \ – \ \dot{K}_{a}^{+}(x) = \bar{K}(x)
\end{aligned}
}
$$

由于无论无论函数 $\dot{K}_{a}^{-}(x)$, 还是 $\dot{K}_{a}^{+}(x)$, 都必须是以方式 $a$ 突变产生的，所以，如果函数 $\dot{K}_{a}(x)$ 加上或者减去的不是不是由方式 $a$ 突变产生的函数，则就不可能得到一个连续函数，即：

1. $\textcolor{orange}{\text{含有可去间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\text{不含有可去间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{=}$ $\textcolor{orange}{\text{不连续函数}}$
2. $\textcolor{orange}{\text{含有跳跃间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\text{不含有跳跃间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{=}$ $\textcolor{orange}{\text{不连续函数}}$
3. $\textcolor{orange}{\text{含有无穷间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\text{不含有无穷间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{=}$ $\textcolor{orange}{\text{不连续函数}}$
4. $\textcolor{orange}{\text{含有震荡间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\text{不含有震荡间断点的函数}}$ $\textcolor{lightgreen}{=}$ $\textcolor{orange}{\text{不连续函数}}$

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