为什么对 $y$ 的积分和对 $x$ 的积分可以相等？

一、前言

已知微分方程中 $y$ 是 $x$ 的函数，即 $y = y(x)$, 那么，为什么对微分方程 $\frac{y^{\prime}}{y}$ $=$ $\frac{-1}{x}$ 左右两边同时进行的积分对应的式子是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
}
$$

而不是：

$$
\textcolor{yellow}{
\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} x = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
}
$$

同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」也会从底层原理的角度，给同学们讲清楚为什么式子 $\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$ 和 $\int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x$ 是相等的。

二、正文

表面视角

由于 $y ^{\prime} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$, 所以：

$$
\begin{aligned}
& \frac{y^{\prime}}{y} = \frac{-1}{x} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{1}{y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{-1}{x} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{1}{y} \mathrm{~d} y = \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

当然，由于 $\mathrm{d} y = y ^{\prime} (x) \mathrm{~d} x$, 所以，上面式子中的 $\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$ 实际上为：

$$
\int \frac{1}{y} \textcolor{orange}{ \mathrm{~d} y } = \int \frac{1}{y(x)} \textcolor{orange}{ y ^{\prime} (x) \mathrm{~d} x }
$$

同时，继续计算可知，微分方程 $\frac{y^{\prime}}{y}$ $=$ $\frac{-1}{x}$ 的解为：

$$
y(x) = \frac{C}{x}
$$

其中，$C$ 为任意常数。

底层原理

虽然经过上面的运算，我们知道，由微分方程 $\frac{y^{\prime}}{y}$ $=$ $\frac{-1}{x}$ 可以推导出 $\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$ $=$ $\int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x$.

但是，$\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$ 是对 $y$ 的积分，$\int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x$ 是对 $x$ 的积分，大家是不是对这两个看上去完全没有关系的式子为什么能相等还是不能完全接受呢？

下面我们就来逐渐分析。

首先，我们需要明白什么是“相等”。

“ 相 等 ”可以分为以下两种情况：

1. 本 质 上 等 价

例如，$a = a$ 和 $2 = 2$ 就是本质上等价；

2. 形 式 上 封 装（换元）

例如，$y = 2$ 和 $a = 3$ 就可以认为是将等号右边的部分封装成了等号左边的部分——这是一种人为的定义。

形象地来看，令 $y = \frac{C}{x}$, 就相当于把 $\frac{C}{x}$ “封装”进一个名为 $y$ 的盒子中，并用这个 “$y$ 盒子”表示 $\frac{C}{x}$, 如图 01 所示：

接着，我们需要理解的是“ 稳 定 系 统 ”，或者说“ 稳 定 变 换 ”。

“ 稳 定 系 统 ”指的是只要输入是相同的，那么输出就一定相同的系统。

如图 02 所示的就是一个“ 稳 定 系 统 ”，因为对于任意相同的输入 $a$, 得到的输出也都是相同的 $A$:

如图 03 所示的就 不 是 一个“ 稳 定 系 统 ”，因为对于任意相同的输入 $a$, 得到的输出并不都是 $A$:

其实，数学中的很多概念和定义都是“ 稳 定 系 统 ”，例如：

1. 所有初等函数都是 稳 定 系 统

我们给一个初等函数 $f(x)$ 输入 $x = 1$, 那么得到的值就是就一定是 $f(x)$, 无论我们在何时何地，第多少次输入 $x = 1$ 到函数 $f(x)$, 得到的值都是 $f(1)$, 不会发生任何改变。

2. 求导运算是一个 稳 定 系 统

对于函数 $f(x)$, 无论我们何时何地对其进行求导，得到的都是函数 $f ^{\prime} (x)$.

当然，积分运算也是一个 稳 定 系 统 。

有了上面对“相等”和“ 稳 定 系 统 ”的理解，我们就会发现，数学中的很多推导和运算，其实就是利用 形 式 上 的 封 装 构造等式，之后再利用合适的 稳 定 系 统 进行变换。

例如，我们可以将 $f(x)$ 封装进 $y$ 中，得到下面的等式：

$$
\textcolor{lightgreen}{
y = f(x) } \tag{1}
$$

接着，对上面的 $(1)$ 式等号两端的式子都施加“对数运算”这样一个 稳 定 系 统 ，得到的仍然是相等的式子：

$$
\begin{align}
& y \rightarrow \boxed{\ln} = \boxed{\ln} \leftarrow f(x) \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{lightgreen}{ \ln y = \ln f(x) } \tag{2}
\end{align}
$$

类似的，对上面的 $(2)$ 式等号两端的式子都施加“求导运算”这样一个 稳 定 系 统 ，得到的仍然是相等的式子：

$$
\begin{align}
& \ln y \rightarrow \boxed{^{\prime}} = \boxed{^{\prime}} \leftarrow \ln f(x) \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{lightgreen}{ \left( \ln y \right) ^{\prime} = \left( \ln f(x) \right) ^{\prime} } \tag{3}
\end{align}
$$

于是，我们接下来就可以回过头来思考一下本文所提出的问题。

首先，由前面的计算可知：

$$
\begin{align}
& \frac{y^{\prime}}{y} = \frac{-1}{x} \tag{4} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{1}{y} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{-1}{x} \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \frac{1}{y} \mathrm{~d} y = \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x \tag{5} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \ln \left| y \right| = – \ln \left| x \right| + C \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \ln |y| = \ln \left| \frac{C}{x} \right| \tag{6} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & y = \frac{C}{x} \tag{7}
\end{align}
$$

接下来我们需要时刻注意的就是，上面 $(4)$ ~ $(7)$ 式中的 $y$ 其实都是对 $\frac{C}{x}$ 的封装，而不是一个单纯的自变量——如果将 $y$ 看作一个单纯的自变量，那么，根据“改变自变量的符号并不影响自变量本身意思的表达”这一原理可知，上面的很多式子都是不可能成立的。例如，$(5)$ 式中的 $\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$ 就不能和 $\int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x$ 相等，因为：

$$
\textcolor{orangered}{
\int \frac{1}{t} \mathrm{~d} t \neq \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} t
}
$$

所以，接下来，为了时刻铭记 $y$ 不是一个简单的自变量，而是一个关于 $\textcolor{orange}{ \frac{C}{x} }$ 的函数，我们用 $y_{\textcolor{orange}{ \frac{C}{x} }}$ 来表示 $y$.

于是，$(4)$ ~ $(6)$ 式就可以写成：

$$
\begin{align}
& \frac{y^{\prime}_{\textcolor{orange}{ \frac{C}{x} }}}{y_{\textcolor{orange}{ \frac{C}{x} }}} = \frac{-1}{x} \tag{4} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \int \frac{1}{y_{\textcolor{orange}{ \frac{C}{x} }}} \mathrm{~d} y_{\textcolor{orange}{ \frac{C}{x} }} = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x \tag{5} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \ln |y_{\textcolor{orange}{ \frac{C}{x} }}| = \ln \left| \textcolor{orange}{ \frac{C}{x} } \right| \tag{6} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & y_{\textcolor{orange}{ \frac{C}{x} }} = \textcolor{orange}{ \frac{C}{x} } \tag{7}
\end{align}
$$

接下来就很好理解了，因为我们可以发现，上面的 $(4)$ ~ $(6)$ 式其实都是基于 稳 定 系 统 做的恒等变换。

例如，对于 $(5)$ 式，有：

$$
\begin{aligned}
& \int \frac{1}{y_{\textcolor{orange}{ \frac{C}{x} }}} \mathrm{~d} y_{\textcolor{orange}{ \frac{C}{x} }} \\ \\
= \ & \int \frac{1}{\textcolor{orange}{ \frac{C}{x} }} \mathrm{~d} \left( \textcolor{orange}{\frac{C}{x}} \right) \\ \\
= \ & \int \frac{x}{C} \cdot \frac{-C}{x^{2}} \mathrm{~d} x \\ \\
= \ & \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

于是，我们就解释清楚了为什么 $\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x$, 因为 $y$ 只是对 $\frac{C}{x}$ 的一个 形 式 上 的等价 封 装 ，只有将 $\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$ 写成 $\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$, 才会和 $\int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x$ 相等，写成其他形式都是不相等的：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{orangered}{
\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} x \neq \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
} \\ \\
& \textcolor{orangered}{
\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} y \neq \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
}
\end{aligned}
$$

当然，归根结底，上面 $(4)$ 式中的微分方程 $\frac{y^{\prime}}{y} = \frac{-1}{x}$ 其实就是对函数 $y = \frac{C}{x}$ 的一个 等 价 封 装 和 稳 定 变 换（等价变换），而函数 $y = \frac{C}{x}$ 就是用 $y$ 封装了 $\frac{C}{x}$.

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