函数间断点的分类与图象示例

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过直观形象的图示，为同学讲解清楚函数的间断点。

二、正文

连续点

根据函数在一点处连续的定义，如果函数 $f(x)$ 在 $x = k$ 点处同时满足以下三个条件，则说明函数 $f(x)$ 在该点处连续：

如图 01 所示，函数 $f(x)$ 在点 $x = k$ 处连续：

间断点的分类

函数间断点可以分为第一类间断点（左右两侧极限都必须存在）和第二类间断点（左右两侧极限可以不都存在，甚至都不存在）。

其中，第一类间断点又分为可去间断点和跳跃间断点；第二类间断点又分为无穷间断点和震荡间断点。

函数间断点的分类如图 02 所示：

可去间断点

其中：

1. 当 $f(x)$ 在 $x = k$ 处没有定义，即 $\lim_{x \rightarrow k^{+}} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow k^{-}}$, 同时 $f(k)$ 不存在时，如图 03 所示：

2. 当 $f(x)$ 在 $x = k$ 处有定义，即 $\lim_{x \rightarrow k^{+}} f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow k^{-}}$ $=$ $A$ $\neq$ $f(k)$ 时，如图 04 所示：

可去间断点不要求函数 $f(x)$ 在 $x = k$ 处一定没有定义。

跳跃间断点

其中：

1. 当 $f(x)$ 在 $x = k$ 处没有定义，且 $\lim_{x \rightarrow k^{-}} f(x)$ $=$ $C$, $\lim_{x \rightarrow k^{+}} f(x)$ $=$ $B$ 时，如图 05 所示：

2. $f(x)$ 在 $x = k$ 处有定义，且 $\lim_{x \rightarrow k^{-}} f(x)$ $=$ $C$, $\lim_{x \rightarrow k^{+}} f(x)$ $=$ $B$ $=$ $f(k)$ 时，如图 06 所示：

3. $f(x)$ 在 $x = k$ 处有定义，且 $\lim_{x \rightarrow k^{-}} f(x)$ $=$ $C$ $\neq$ $f(k)$, $\lim_{x \rightarrow k^{+}} f(x)$ $=$ $B$ $\neq$ $f(k)$ 时，如图 07 所示：

跳跃间断点不要求函数 $f(x)$ 在 $x = k$ 处一定没有定义。

无穷间断点

其中：

1. 当 $f(x)$ 在 $x = k$ 处没有定义，且 $\lim_{x \rightarrow k^{-}} f(x) = \infty$, $\lim_{x \rightarrow k^{+}} f(x) = D$ 时（其中 $D$ 为常数，下同），如图 08 所示：

2. 当 $f(x)$ 在 $x = k$ 处有定义，且 $\lim_{x \rightarrow k^{-}} f(x) = \infty$, $\lim_{x \rightarrow k^{+}} f(x) = D$ $=$ $f(k)$ 时，如图 09 所示：

3. 当 $f(x)$ 在 $x = k$ 处有定义，且 $\lim_{x \rightarrow k^{-}} f(x) = \infty$, $\lim_{x \rightarrow k^{+}} f(x) = D$ $\neq$ $f(k)$ 时，如图 10 所示：

4. 当 $f(x)$ 在 $x = k$ 处有定义，且 $\lim_{x \rightarrow k^{-}} f(x) = \infty$, $\lim_{x \rightarrow k^{+}} f(x) = \infty$ 时，如图 11 所示：

5. 当 $f(x)$ 在 $x = k$ 处没有定义，且 $\lim_{x \rightarrow k^{-}} f(x) = \infty$, $\lim_{x \rightarrow k^{+}} f(x) = \infty$ 时，如图 12 所示：

无穷间断点不要求函数 $f(x)$ 在 $x = k$ 处一定没有定义。

震荡间断点

如果函数 $f(x)$ 的取值在 $x \rightarrow k$ 的时候反复改变无数次，则 $x = k$ 就是函数 $f(x)$ 的震荡间断点，如图 13 所示：

---