线性代数归档 - 第34页共41页

线性方程组中的系数行列式（C006）

问题

已知，有线性方程组：
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} \end{array}\right.$

或者：
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0 \end{array}\right.$

则，上述线性方程组的系数行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A]. $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

[B]. $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} b_{1} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\b_{n} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

[C]. $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{(1) (n-1)} & b_{1} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{(n-1) (n-1)} & b_{n} \end{array}\right|$

[D]. $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{n1} & \cdots & a_{n n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{1 1} & \cdots & a_{1 n} \end{array}\right|$

答案

$D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$

方阵相加的行列式与方阵行列式的相加（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，则，根据行列式的性质，$|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ 与 $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$ 之间有什么关系？

选项

[A]. $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[B]. $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ $\neq$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[C]. $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|^{n}$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[D]. $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ $=$ $\frac{1}{n}$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $\frac{1}{n}$ $|\boldsymbol{B}|$

答案

$|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ $\neq$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

相似方阵之间行列式的关系（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则，行列式 $A$ 与 $B$ 之间有什么关系？

选项

[A]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{B}|$

[B]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{B}|}$

[C]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $- |\boldsymbol{B}|$

[D]. $|\boldsymbol{A}|$ $\neq$ $|\boldsymbol{B}|$

答案

$|\boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{B}|$

特征值与行列式的计算（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，其中 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$, $\cdots$, $\lambda_{n}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值，则 $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $?$

选项

[A]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $\frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_{n}}$

[B]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\frac{1}{n}$ $\lambda_{1}$ $\times$ $\lambda_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $\lambda_{n}$

[C]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda_{1}$ $+$ $\lambda_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\lambda_{n}$

[D]. $|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda_{1}$ $\times$ $\lambda_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $\lambda_{n}$

答案

$|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda_{1}$ $\times$ $\lambda_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $\lambda_{n}$

伴随方阵的行列式计算方法（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，且 $n$ $\geq$ $2$, $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随方阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $n |\boldsymbol{A}|$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n+1}$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n}$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

答案

$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

逆方阵的行列式计算方法（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$可逆方阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $(-1)^{n}$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|^{n}}$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $- |\boldsymbol{A}|$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$

答案

$\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$

$k$ 阶方阵的行列式计算方法（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{\frac{1}{k}}$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $(-1)^{k} |\boldsymbol{A}|^{k}$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $k |\boldsymbol{A}|$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{k}$

答案

$\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{k}$

方阵的交换律与行列式的计算（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，则，根据方阵的交换律，
$|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $?$

选项

[A]. $|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $-$ $|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|$

[B]. $|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|$

[C]. $|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $\times$ $|\boldsymbol{B}|$

[D]. $|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

答案

$|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$

常数与 $n$ 阶行列式的运算关系（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 为常数，则 $|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $?$

选项

[A]. $|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda^{n-1}$ $|\boldsymbol{A}|$

[B]. $|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $-$ $|\boldsymbol{A}|$

[C]. $|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $(\frac{1}{\lambda})^{n}$ $|\boldsymbol{A}|$

[D]. $|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

答案

$|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda^{n}$ $|\boldsymbol{A}|$

$n$ 阶行列式的转置行列式（C005）

问题

已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，则 $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $(-1)^{n}$ $|\boldsymbol{A}|$

[B]. $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $- |\boldsymbol{A}|$

[C]. $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

[D]. $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $|\boldsymbol{A}|$

答案

$\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$

范德蒙行列式的计算（C004）

问题

已知，有范德蒙行列式 $D_{n}$ $=$
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array}\right|$.

则，下面对该行列式的计算结果，正确的是哪个？

选项

[A]. $D$ $=$ $\left(x_{2}+x_{1}\right)$ $\cdot$ $\left(x_{3}+x_{1}\right)$ $\cdot$ $\left(x_{3}+x_{2}\right)$

[B]. $D$ $=$ $\left(x_{2}-x_{1}\right)$ $+$ $\left(x_{3}-x_{1}\right)$ $+$ $\left(x_{3}-x_{2}\right)$

[C]. $D$ $=$ $\left(x_{3} – x_{2} – x_{1}\right)$

[D]. $D$ $=$ $\left(x_{2}-x_{1}\right)$ $\cdot$ $\left(x_{3}-x_{1}\right)$

答案

$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array}\right|$ $=$ $\left(x_{2}-x_{1}\right)$ $\cdot$ $\left(x_{3}-x_{1}\right)$ $\cdot$ $\left(x_{3}-x_{2}\right)$

范德蒙行列式的通用计算方式如下：

$\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{\textcolor{orange}{1}} & x_{\textcolor{orange}{2}} & x_{\textcolor{orange}{3}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}} \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{2}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{2}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{2}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{2}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} \end{array}\right|$ $=$

$\prod_{1 \leq j < i \leq n}$ $\left(x_{i} – x_{j} \right)$
总结：用右边的元素把左边的元素全减一遍并相乘。

范德蒙行列式的形式（C004）

问题

以下哪个选项是范德蒙行列式 $D_{n}$ 的正确形式？

选项

[A]. $D_{n}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array}\right|$

[B]. $D_{n}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ 2 x_{1} & 2 x_{2} & 2 x_{3} \\ 3 x_{1} & 3 x_{2} & 3 x_{3} \end{array}\right|$

[C]. $D_{n}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \\ x_{1}^{3} & x_{2}^{3} & x_{3}^{3} \end{array}\right|$

[D]. $D_{n}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array}\right|$

答案

$D_{n}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array}\right|$

范德蒙行列式的通用形式：

$\left|\begin{array}{ccccc} x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{0}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{0}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{0}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{0}} \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{1}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{1}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{1}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{1}} \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{2}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{2}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{2}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{2}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{\textcolor{orange}{1}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & x_{\textcolor{orange}{2}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & x_{\textcolor{orange}{3}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} & \cdots & x_{\textcolor{orange}{n}}^{\textcolor{cyan}{n-1}} \end{array}\right|$ $\Rightarrow$

行列式的简化：反下三角区域存在方阵（C004）

问题

如果 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，且行列式 $D$ $=$
$\left|\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C} \end{array}\right|$.

则，如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算？

选项

[A]. $D$ $=$ $(-1)^{mn}$ $|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$

[B]. $D$ $=$ $(-1)^{m+n}$ $|\boldsymbol{A}|$ $|\boldsymbol{B}|$

[C]. $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[D]. $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{B}|$

答案

$\left|\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \\ \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} & \boldsymbol{C} \end{array}\right|$ $=$ $(-1)^{mn}$ $|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}||\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}|$

行列式的简化：反上三角区域存在方阵（C004）

问题

如果 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，且行列式 $D$ $=$
$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|$.

则，如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算？

选项

[A]. $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$

[B]. $D$ $=$ $|\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{B}|$

[C]. $D$ $=$ $(-1)^{mn}$ $|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$

[D]. $D$ $=$ $(-1)^{m+n}$ $|\boldsymbol{A}|$ $|\boldsymbol{B}|$

答案

$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \\ \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|$ $=$ $(-1)^{mn}$ $|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}||\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}|$

行列式的简化：副对角线区域存在方阵（C004）

问题

如果 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，且行列式 $D$ $=$
$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|$.

则，如果利用 $A$ 和 $B$ 对行列式 $D$ 作化简运算？

选项

答案

$\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{\textcolor{orange}{A}} \\ \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|$ $=$ $(-1)^{mn}$ $|\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}||\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}|$