分类： 线性代数

$\left[\begin{array}{ccc}1& 7& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

上三角矩阵定义的标准版：
$n$ 阶矩阵 $\mathit{A}$ $=$ ${\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$, 当 $i$ $>$ $j$ 时，$a_{ij}$ $=$ $0$, $($ $j$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$ $-$ $1$ $)$ 的矩阵称为上三角矩阵.

上三角矩阵定义的简易版：
主对角线下方（不包括主对角线）区域的元素全为零的矩阵就是上三角矩阵.

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

除了主对角线之外的区域上的元素全部为零的矩阵就是对角矩阵，形如：
$\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ & & \ddots & \\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)$

对角矩阵一般记作：$\mathbf{\Lambda }$

$\left[\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& k\end{array}\right]$

主对角线上的元素全为 $k$, 形如下面这个矩阵的矩阵都可以被称为数量矩阵：
$\left(\begin{array}{llll}k& 0& \cdots & 0\\ 0& k& \cdots & 0\\ & & \ddots & \\ 0& 0& \cdots & k\end{array}\right)$

数量矩阵一般记作 $kE$.

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

主对角线上的元素全为 $1$, 形如下面这个矩阵的矩阵都可以被称为单位矩阵：
$\left(\begin{array}{llll}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ & & \ddots & \\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$

$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

零矩阵就是矩阵内元素都为 $0$ 的矩阵，记作：$O$

$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$

$\left[\begin{array}{ccc}\ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast & \ast \end{array}\right]$

形如下面的矩阵可以被称为 $n$ 阶方阵或者 $n$ 阶矩阵，记作 $A$ 或者 $A_n$：
$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$

当 $D$ $\ne$ $0$ 时，该线性方程组只有零解：
$x_1$ $=$ $x_2$ $=$ $\cdots$ $=$ $x_n$ $=$ $0$.

$x_1$ $=$ $\frac{D_1}{D}$, $x_2$ $=$ $\frac{D_2}{D}$, $\cdots$, $x_n$ $=$ $\frac{D_n}{D}$

$D$ $\ne$ $0$

$D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

$|\mathit{A}+\mathit{B}|$ $\ne$ $|\mathit{A}|$ $+$ $|\mathit{B}|$

$|\mathit{A}|$ $=$ $|\mathit{B}|$

$|\mathit{A}|$ $=$ ${\lambda }_1$ $\times$ ${\lambda }_2$ $\times$ $\cdots$ $\times$ ${\lambda }_n$

$\left|{\mathit{A}}^{\ast }\right|$ $=$ $|\mathit{A}{|}^{n-1}$