线性代数 – 第 34 页

生成伴随矩阵的前提条件（C009）

问题

以下哪个矩阵具有伴随矩阵？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\\ 5 & 6 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

答案

只有方阵（行数和列数相等的矩阵）才有伴随矩阵：
$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

矩阵的运算规律：$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top}$（C008）

问题

根据矩阵的运算规律，$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{\top}$ $\boldsymbol{A}^{\top}$

[B]. $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{\top}$ $+$ $\boldsymbol{A}^{\top}$

[D]. $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\top}$ $\boldsymbol{B}^{\top}$

答案

$(\boldsymbol{\textcolor{red}{A}} \boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}})^{\mathrm{\textcolor{orange}{\top}}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}^{\mathrm{\textcolor{orange}{\top}}}$ $\boldsymbol{\textcolor{red}{A}}^{\mathrm{\textcolor{orange}{\top}}}$

矩阵的运算规律：$(\lambda \boldsymbol{A})^{\top}$（C008）

问题

根据矩阵的运算规律，$(\lambda \boldsymbol{A})^{\top}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\lambda \boldsymbol{A})^{\top}$ $=$ $\frac{1}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}^{\top}$

[B]. $(\lambda \boldsymbol{A})^{\top}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}^{\top}$

[C]. $(\lambda \boldsymbol{A})^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\top}$

[D]. $(\lambda \boldsymbol{A})^{\top}$ $=$ $\lambda$ $\boldsymbol{A}$

答案

$(\textcolor{orange}{\lambda} \boldsymbol{A})^{\mathrm{\textcolor{cyan}{\top}}}$ $=$ $\textcolor{orange}{\lambda}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\textcolor{cyan}{\top}}}$

矩阵的运算规律：$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\top}$（C008）

问题

根据矩阵的运算规律，$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\top}$ $=$ $?$

选项

[A]. $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\top}$ $-$ $\boldsymbol{B}^{\top}$

[B]. $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\top}$ $=$ $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top}$

[C]. $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$

[D]. $(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\top}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{\top}$

答案

$(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B})^{\mathrm{\textcolor{orange}{\top}}}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\textcolor{orange}{\top}}}$ $+$ $\boldsymbol{B}^{\mathrm{\textcolor{orange}{\top}}}$

矩阵的运算规律：$\left(\boldsymbol{A}^{\top}\right)^{\top}$（C008）

问题

根据矩阵的运算规律，$\left(\boldsymbol{A}^{\top}\right)^{\top}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{\top}\right)^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\top}$

[B]. $\left(\boldsymbol{A}^{\top}\right)^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{\top}\right)^{\top}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{A}^{\top}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{\top}\right)^{\top}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{\textcolor{orange}{\top}}}\right)^{\mathrm{\textcolor{cyan}{\top}}}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

矩阵的转置（C008）

问题

对下面的矩阵进行矩阵转置运算，正确的是哪个？
$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 1 & 3 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 4 & 3 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

答案

$\begin{bmatrix} \textcolor{orange}{1} & \textcolor{cyan}{2}\\ \textcolor{orange}{3} & \textcolor{cyan}{4} \end{bmatrix}^{\textcolor{red}{\top}}$ $=$ $\begin{bmatrix} \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{3}\\ \textcolor{cyan}{2} & \textcolor{cyan}{4} \end{bmatrix}$

方阵的幂运算规律：$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{k}$ 与 $\boldsymbol{A}^{k}$ $\boldsymbol{B}^{k}$ 的关系（C008）

问题

已知 $k$ 为常数，则，根据方阵的幂运算规律，一般情况下，$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{k}$ 与 $\boldsymbol{A}^{k}$ $\boldsymbol{B}^{k}$ 是否相等？

选项

[A]. 相等

[B]. 不相等

答案

一般情况下，$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\textcolor{cyan}{k}}$ $\textcolor{red}{\neq}$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{cyan}{k}}$ $\boldsymbol{B}^{\textcolor{cyan}{k}}$

方阵的幂运算规律：$\left(\boldsymbol{A}^{k}\right)^{l}$（C008）

问题

根据方阵的幂运算规律，$\left(\boldsymbol{A}^{k}\right)^{l}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\left(\boldsymbol{A}^{k}\right)^{l}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\frac{k}{l}}$

[B]. $\left(\boldsymbol{A}^{k}\right)^{l}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{k + l}$

[C]. $\left(\boldsymbol{A}^{k}\right)^{l}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{k l}$

[D]. $\left(\boldsymbol{A}^{k}\right)^{l}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{k – l}$

答案

$\left(\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{k}}\right)^{\textcolor{cyan}{l}}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{k} \textcolor{cyan}{l}}$

方阵的幂运算规律：$\boldsymbol{A}^{k}$ $\boldsymbol{A}^{l}$（C008）

问题

根据方阵的幂运算规律，$\boldsymbol{A}^{k}$ $\boldsymbol{A}^{l}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{A}^{k}$ $\boldsymbol{A}^{l}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{k+l}$

[B]. $\boldsymbol{A}^{k}$ $\boldsymbol{A}^{l}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{k^{l}}$

[C]. $\boldsymbol{A}^{k}$ $\boldsymbol{A}^{l}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\frac{l}{k}}$

[D]. $\boldsymbol{A}^{k}$ $\boldsymbol{A}^{l}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{k l}$

答案

$\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{k}}$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{cyan}{l}}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{\textcolor{orange}{k} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{l}}$

方阵的幂运算（C008）

问题

已知，设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵。根据方阵的幂运算，$\boldsymbol{A}^{3}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{A}^{3}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $\cdot$ $\boldsymbol{A}$ $\cdot$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $\boldsymbol{A}^{3}$ $=$ $3$ $\cdot$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\boldsymbol{A}^{3}$ $=$ $\frac{1}{\boldsymbol{A}}$ $\cdot$ $\frac{1}{\boldsymbol{A}}$ $\cdot$ $\frac{1}{\boldsymbol{A}}$

[D]. $\boldsymbol{A}^{3}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\boldsymbol{A}^{3}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $\cdot$ $\boldsymbol{A}$ $\cdot$ $\boldsymbol{A}$

矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{A B}$ $=$ $\boldsymbol{O}$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，能否由 $\boldsymbol{A B}$ $=$ $\boldsymbol{O}$, 推出 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ $?$

选项

[A]. 能

[B]. 不能

答案

由 $\boldsymbol{A B}$ $=$ $\boldsymbol{O}$, 不能推出 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{O}$

矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{A B}$ 与 $\boldsymbol{A C}$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，当 $\boldsymbol{A}$ $\neq$ $\boldsymbol{O}$ 时，能否由 $\boldsymbol{A B}$ $=$ $\boldsymbol{A C}$ 推出 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C}$ $?$

选项

[A]. 不能

[B]. 能

答案

当 $\boldsymbol{A}$ $\neq$ $\boldsymbol{O}$ 时，由 $\boldsymbol{A B}$ $=$ $\boldsymbol{A C}$ 不能推出 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C}$

矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$ 有什么关系？

选项

[A]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[B]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $<$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $>$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

[D]. $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ $\neq$ $\boldsymbol{B}$ $\boldsymbol{A}$

矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，$\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$ $\neq$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{E}$

[B]. $\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{A}$

[C]. $\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $-$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{E}$

[D]. $\boldsymbol{E}$ $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{E}$ $=$ $\boldsymbol{A}$

答案

$\boldsymbol{\textcolor{orange}{E}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}$ $=$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{E}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}$

矩阵乘法运算的规律：$\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$（C008）

问题

根据矩阵乘法的运算规律，$\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\boldsymbol{C A}$ $+$ $\boldsymbol{C B}$

[B]. $\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $|\boldsymbol{C}|$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $|\boldsymbol{C}|$ $\boldsymbol{B}$

[C]. $\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\boldsymbol{C A}$ $-$ $\boldsymbol{C B}$

[D]. $\boldsymbol{C}$ $($ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{B}$ $)$ $=$ $\boldsymbol{A C}$ $+$ $\boldsymbol{B C}$

答案

$\boldsymbol{\textcolor{cyan}{C}}$ $\textcolor{orange}{(}$ $\boldsymbol{\textcolor{yellow}{A}}$ $+$ $\boldsymbol{\textcolor{yellow}{B}}$ $\textcolor{orange}{)}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{C} \textcolor{yellow}{A}}$ $+$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{C} \textcolor{yellow}{B}}$