高等数学

一、题目

已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界, 则 $a, b$ 的取值范围为 ( )

(A) $a<0, b>0$

(B) $a>0, b>0$

(D) $a=0, b<0$

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一、题目

设数列 $\left\{x_{n}\right\} ，\left\{y_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=y_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_{n}, y_{n+1}=y_{n}^{2}$, 当 $n \rightarrow \infty$ 时 ( )

(A) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的高阶无穷小

(B) $y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小

(D) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的同阶但非等价无穷小

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一、题目

函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的原函数为 ( )

(A) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$

(B) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$

(C) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$

(D) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$

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一、题目

$y=x \ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程是 ( )

(A) $y=x+e$

(B) $y=x+\frac{1}{e}$

(D) $y=x-\frac{1}{e}$

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一、前言

解决高等数学中的极限问题用什么方法？

配项？凑项？拆分？

上面这些方法都有很强的技巧性，而且也并不适合所有极限类型的题目。

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导数不存在不一定没有切线：导数不能以极限的形式存在，但是切线可以以极限的形式存在

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{x}, & x \geqslant 0 \\ \sqrt{-x}, & x<0\end{array}\right.$, 则：

(A) $f(x)$ 在 $x=0$ 不连续

(B) $f^{\prime}(0)$ 存在

(D) $f^{\prime}(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 有切线

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一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} \ln \left(1+x^{3}\right) \sin \frac{1}{x}, & x>0 \\
-0, & x=0, \\
\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~d} t, & x<0
\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处：

(A) 不连续

(B) 连续但不可导

(D) 可导且导函数连续

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二、解析

首先：

$$
\left(\int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t\right)_{x}^{\prime}=2 x \sin x^{2} \sim k x^{3} \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t \sim k x^{4}
$$

所以：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{3}}{x} \sin \frac{1}{x}=0
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} \int_{0}^{x^{3}} \sin t \mathrm{~ d} t \approx \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} x^{3}=0
$$

于是可知，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

又：

$$
f^{\prime}\left(0^{+}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-0}{x}=0
$$

$$
f^{\prime}\left(0^{-}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-0}{x}=0
$$

于是可知，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导。

但是，由于：

$$
\left(\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t\right)_{x}^{\prime}=\frac{-1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t+\frac{1}{x} \cdot 2 x \sin x^{2} \neq 0
$$

于是可知，$f(x)$ 的导数在 $x = 0$ 处不连续。

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！

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一点处导数是“该点处”的导数，而不是“趋于该点处”的导数

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 某邻域有定义，则存在函数 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续并使 $f(x) – f\left(x_{0}\right)=\left(x-x_{0}\right) g(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处可导的充要条件吗？

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带有绝对值的一点处导数的定义怎么用？

一、题目

已知 $f(x), g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导, $F(x)=g(x)|f(x)|$, 又 $f\left(x_{0}\right)=0$, 则 $F^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 存在的充要条件是什么？

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只有乘以 “0” 才可以「抹平」跳跃间断点

一、题目

已知，连续函数 $F(x)=g(x) \varphi(x), x=a$ 是 $\varphi(x)$ 的跳跃间断点, $g^{\prime}(a)$ 存在, 则 $g(a)=0$, $g^{\prime}(a)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=a$ 处可导的充分必要条件吗？

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极限存在会有界，但有界不一定存在极限

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，则 “$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在” 是 “$f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的有界函数” 的充要条件吗？

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乘法对间断点的「弥合」作用强于加法

一、题目

已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内都有定义，且 $x=x_{1}$ 是 $f(x)$ 的唯一间断点, $x=$ $x_{2}$ 是 $g(x)$ 的唯一间断点，则：

(A) 当 $x_{1}=x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_{1}$

(B) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$

(D) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x) g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$

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这个复杂式子的求导你会吗？

一、题目

已知 $f(x)=x \tan \left(\frac{\pi}{6} \mathrm{e}^{\sin x}\right), x \in(-\infty,+\infty)$, 则 $f(x)$ 是

(A) 偶函数

(B) 无界函数

(D) 单调函数

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洛必达法则只能用于求极限，不能用于传递极限值

一、题目

以下运算和结论都正确的有哪些？

(1) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}\left(\frac{2}{x^{3}}\right)}{1}=2 \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$ $=$ $\frac{4}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{5}}=\cdots=\infty$

(2) $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}=\cdots$, 由于分子与分母一直反复，所以该极限不存在。

(3) 由于 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\cos x}{x}}$ $=$ $\frac{1+0}{1+0}=1$, 另一方面 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ 为 “$\frac{\infty}{\infty}$” 型，由洛必达法则, $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}$, 所以 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}=1$

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乘法中的极限可以代入，加法中的极限不能代入

一、题目

以下极限等式（若某端极限存在，则另一端极限也存在且相等）成立的是：

(A) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x)+g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{A+g(x)}$

(B) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \left(h(x) \cdot \frac{f(x)}{g(x)}\right)=0$

(C) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A \neq 0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x) g(x)}=\frac{1}{A} \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{g(x)}$

(D) $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{2}}+\frac{f(x)}{x}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{2}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$

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