一、题目
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}|x|^{a} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 若：
(I) $f(x)$ 为连续函数;
(II) $f(x)$ 为可导函数;
(III) $f(x)$ 为连续可导函数,
则参数 $a$ 必须分别满足：
(A) ( I ) $a>0$; ( II ) $a>1$; ( III ) $a>2$
(B) ( I ) $a>1$; ( II ) $a>2$; ( III) $a>3$
(C) ( I ) $a>0$; ( II ) $a \geqslant 1$; ( III ) $a \geqslant 2$
(D) ( I ) $a>0$; ( II ) $a \geqslant 2$; ( III ) $a \geqslant 3$
难度评级：
二、解析 
一、
由于 $\left|\sin \frac{1}{x}\right|$ 在 $(0,1)$ 之间震荡，具有自限性。
因此，当 $a>0$ 时：
$$
|f(x)|=\Big|| x |^{a} \sin \frac{1}{x} \Big|\leqslant | x |^{a}
$$
此时：
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)
$$
即，$a > 0$ 时，f(x)$ 连续。
二、
$$
f^{\prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{|x|^{a}}{x} \sin \frac{1}{x} =
$$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}|x|^{a-1} \sin \frac{1}{x}
$$
于是，当 $a>1$ 时，
$$
\left|f^{\prime}(0)\right| \leqslant|x|^{a-1} \Rightarrow f^{\prime}(0)=0
$$
即，当 $a>1$ 时，$f(x)$ 可导。
三、
$$
f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{c}
a x^{a-1} \sin \frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{a} \cdot \cos \frac{1}{x}, & a>0 \\ \\
0, & a=0 \\ \\
-a(-x)^{a-1} \sin \frac{1}{x}-\frac{(-x)^{a}}{x^{2}} \cos \frac{1}{x}, & a<0
\end{array}\right.
$$
由于：
$$
a>2 \Rightarrow \frac{x^{a}}{x^{2}} \rightarrow 0, \quad \frac{(-x)^{a}}{x^{2}} \rightarrow 0
$$
即，当 $a>2$ 时，$f(x)$ 可导，且导数连续。