乘法中的极限可以代入，加法中的极限不能代入

一、题目

以下极限等式（若某端极限存在，则另一端极限也存在且相等）成立的是：

(A) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x)+g(x)}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{A+g(x)}$

(B) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \left(h(x) \cdot \frac{f(x)}{g(x)}\right)=0$

(C) 设 $\lim \limits_{x \rightarrow a} h(x)=A \neq 0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{h(x) g(x)}=\frac{1}{A} \lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f_{1}(x)+f_{2}(x)}{g(x)}$

(D) $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{2}}+\frac{f(x)}{x}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{2}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$

难度评级：

二、解析

加法式子中的极限不能直接代入计算，因此，A 选项错误；

如果 $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 是一个无穷大量，则 B 选项错误；

C 选项中代入的极限位于乘法式子中，这样做是正确的。

只有 $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^{2}}\right)$ 和 $\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{f(x)}{x}\right)$ 的极限都存在的时候才可以拆分，因此，D 选项错误。

综上，本题应选 C.

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