题目
设积分区域 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x+y \leqslant 2, x \geqslant 0, y \geqslant 0 \}$, 则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{d} \sigma}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$
解析
首先确定积分区域：
$$
x+y \geqslant 1 \Rightarrow y \geqslant-x+1
$$
$$
x+y \leqslant 2 \Rightarrow y \leqslant-x+2
$$
转为极坐标系：
$$
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array} \quad\right. \Rightarrow
$$
$$
\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)
$$
又：
$$
x+y \geqslant 1 \Rightarrow
$$
$$
r \cos \theta+r \sin \theta \geqslant 1 \Rightarrow r(\cos \theta+\sin \theta) \geqslant 1 \Rightarrow
$$
$$
r \geqslant \frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}
$$
同理：
$$
x+y \leqslant 2 \Rightarrow r \leqslant \frac{2}{\cos \theta+\sin \theta}
$$
于是：
$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~ d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{\frac{2}{\cos \theta+\sin \theta}} \mathrm{~ d} r \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{springgreen}{
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos \theta+\sin \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow t=\tan \frac{\theta}{2} } \tag{1}
$$
令：
$$
\frac{\theta}{2}=\arctan t
$$
则：
$$
\mathrm{~ d} \theta=\frac{2}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t
$$
$$
\sin \theta=\frac{2 t}{1+t^{2}}
$$
$$
\cos \theta=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}
$$
$$
\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \quad t \in(0,1)
$$
于是：
$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos \theta+\sin \theta} \mathrm{~ d} \theta =
$$
$$
\int_{0}^{1} \frac{1 + t^{2}}{2 t+1-t^{2}} \cdot \frac{2}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$
$$
\int_{0}^{1} \frac{2}{2 t+1-t^{2}} \mathrm{~ d} t = \frac{1}{2-(t-1)^{2}} \mathrm{~ d} t
$$
又：
$$
u=t-1 \Rightarrow t \in(0,1), u \in(-1,0)
$$
于是：
$$
I=\int_{-1}^{0} \frac{2}{2-u^{2}} \mathrm{~ d} u=\int_{-1}^{0} \frac{2}{(\sqrt{2}+u)(\sqrt{2}-u)} \mathrm{~ d} u=
$$
$$
\frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-1}^{0}\left(\frac{1}{\sqrt{2}+u}+\frac{1}{\sqrt{2}-u}\right) \mathrm{~ d} u=
$$
$$
\left.\frac{1}{\sqrt{2}}[\ln (\sqrt{2}+u)-\ln (\sqrt{2}-u)]\right|_{-1} ^{0}=
$$
$$
\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2} + u}{\sqrt{2} – u} \right|_{-1} ^{0}=
$$
$$
\frac{1}{\sqrt{2}} \left[\ln 1-\ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right]=\frac{-1}{\sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}
$$
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