乘法对间断点的「弥合」作用强于加法

一、题目

已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内都有定义，且 $x=x_{1}$ 是 $f(x)$ 的唯一间断点, $x=$ $x_{2}$ 是 $g(x)$ 的唯一间断点，则：

(A) 当 $x_{1}=x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_{1}$

(B) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$

(C) 当 $x_{1}=x_{2}$ 时, $f(x) g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_{1}$

(D) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x) g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$

难度评级：

二、解析

若：

$$
f(x) = \begin{cases}
-1, & x > 0 \\
0, & x \leqslant 0
\end{cases}
$$

$$
g(x) = \begin{cases}
0, & x > 0 \\
-1, & x \leqslant 0
\end{cases}
$$

则：

$$
f(x) + g(x) = f(x) g(x) = 0
$$

因此，A、C 选项错。

又：

$$
f(x) = \begin{cases}
1, & x > 0 \\
0, & x \leqslant 0
\end{cases}
$$

$$
g(x) = \begin{cases}
0, & x > -1 \\
1, & x \leqslant -1
\end{cases}
$$

则：

$$
f(x) g(x) = 0
$$

因此，D 选项错。

综上可知，本题应选 B.

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