这个复杂式子的求导你会吗？

一、题目

已知 $f(x)=x \tan \left(\frac{\pi}{6} \mathrm{e}^{\sin x}\right), x \in(-\infty,+\infty)$, 则 $f(x)$ 是

(A) 偶函数

(B) 无界函数

(C) 周期函数

(D) 单调函数

难度评级：

二、解析

已知：

$$
f(x)=x \tan \left(\frac{\pi}{6} e^{\sin x}\right)
$$

则当 $x \rightarrow+\infty$ 时， $\frac{\pi}{6} e^{\sin x}$ 有界变化，因此 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty \Rightarrow$

于是可知，$f(x)$ 为无界函数，且没有周期性。

又：

$$
f(-\pi)=(-\pi) \tan \frac{\pi}{6}=\frac{-\sqrt{3}}{3} \pi
$$

$$
f(\pi)=(\pi) \tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3} \pi
$$

由于 $f(-\pi) \neq f(\pi) \Rightarrow$, 因此可知，$f(x)$ 不是偶函数。

又：

$$
f^{\prime}(x)=
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\tan \left(\frac{\pi}{6} e^{\sin x}\right)+x \cdot \frac{\pi}{6} \cdot \frac{1}{\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{6} \cdot e^{\sin x}\right)} \cdot e^{\sin x} \cdot \cos x } \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(0)=\frac{\sqrt{3}}{3}>0
$$

$$
f^{\prime}(\pi)=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\pi^{2}}{6} \cdot \frac{4}{3} \cdot 1 \cdot(-1) \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(\pi)=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2 \pi^{2}}{9}<0 .
$$

因此可知，$f(x)$ 不单调。

综上可知，本题应选 B.

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