洛必达法则只能用于求极限，不能用于传递极限值

一、题目

以下运算和结论都正确的有哪些？

(1) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}\left(\frac{2}{x^{3}}\right)}{1}=2 \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$ $=$ $\frac{4}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{5}}=\cdots=\infty$

(2) $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}=\cdots$, 由于分子与分母一直反复，所以该极限不存在。

(3) 由于 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\cos x}{x}}$ $=$ $\frac{1+0}{1+0}=1$, 另一方面 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ 为 “$\frac{\infty}{\infty}$” 型，由洛必达法则, $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}$, 所以 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}=1$

难度评级：

二、解析

(1)

该运算进行下去只能导致分母的次方越来越大，式子仍然是 $\frac{0}{0}$ 型，不能通过洛必达运算得出任何结论，自然也不能得出结果为 $\infty$ 的结论。

(2)

由于用了洛必达法则会产生“反复”，因此该运算也不能用洛必达法则，更不能通过洛必达运算判断极限是否存在，或者极限等于多少。

(3)

$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}$ 的极限其实是不存在的，我们不能因为可以用洛必达运算得到这个式子就得出其极限值，因为洛必达法则只能用于求极限，不能用于传递极限值。

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