只有乘以 “0” 才可以「抹平」跳跃间断点

一、题目

已知，连续函数 $F(x)=g(x) \varphi(x), x=a$ 是 $\varphi(x)$ 的跳跃间断点, $g^{\prime}(a)$ 存在, 则 $g(a)=0$, $g^{\prime}(a)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=a$ 处可导的充分必要条件吗？

难度评级：

二、解析

$$
F^{\prime}(a)=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{F(x)-F(a)}{x-a}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{g(x) \varphi(x)-g(a) \varphi(a)}{x-a} \Rightarrow
$$

若 $g(a)=0$, 则有：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{g(x) \varphi(x)}{x-a}=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} \varphi(x)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} g^{\prime}(a) \varphi(x) \Rightarrow
$$

若 $g^{\prime}(a) = 0$, 则 $F^{\prime}(a)$ 存在。

从上面的分析可知，充分性是满足的。

反过来看，由于 $x = a$ 是 $\varphi(x)$ 的跳跃间断点，如果此时 $g^{\prime}(a)$ 是一个不等于零的数，则当 $x \rightarrow a^{+}$ 和 $x \rightarrow a^{-}$ 时，$g^{\prime}(a) \varphi(x)$ 的值是完全不一样的，$F^{\prime}(a)$ 也就不存在。

因此，若 $F^{\prime}(a)$ 存在，必须有 $g^{\prime}(a) = 0$, 进而也必须有 $g(a)=0$, 只有这样才能由 $\lim \limits_{x \rightarrow a} g^{\prime}(a) \varphi(x)$ 反推得到 $F^{\prime}(a)$.

于是可知，必要性也是满足的。

综上可知，$g(a)=0$, $g^{\prime}(a)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=a$ 处可导的充分必要条件。

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