2023年考研数二第02题解析：分段函数、导函数的性质

一、题目

函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的原函数为 ( )

(A) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$

(B) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$

(C) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$

(D) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$

难度评级：

二、解析

快捷做法

首先，可导必连续（在一点处可导的函数必然在该点处连续）。

但是，(A) 选项中：

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \ln (\sqrt{1 + x^{2}} – x) = \ln 1 = 0
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} (x + 1) \cos x – \sin x = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \cos x = 1
$$

(C) 选项中：

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \ln(\sqrt{1 + x^{2}} – x) = \ln 1 = 0
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} (x + 1) \sin x + \cos x = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \cos x = 1
$$

由于，(A), (C) 选项中的函数在 $x = 0$ 处都不连续，因此不可能是另一个函数的原函数。

接着对 (B) 选项中的函数求导可得：

$$
\big[ \ln (\sqrt{1+x^{2}} – x) + 1 \big]^{\prime} = \frac{\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} – 1 }{\sqrt{1+x^{2}} – x} =
$$

$$
\frac{x – \sqrt{1+x^{2}}}{(\sqrt{1+x^{2}}) (\sqrt{1+x^{2}} – x)} = \frac{-1}{\sqrt{1+x^{2}}} \textcolor{orangered}{\neq} \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}
$$

因此，(B) 选项中的函数不可能是题目所给函数的原函数。

于是可知，本题应选 D.

传统做法

我们可以对题目所给函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 进行积分来求解。

当 $x \leqslant 0$ 时：

$$
F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~ d} x =
$$

基本积分公式：

$$\int \frac{1}{\sqrt{\textcolor{springgreen}{x^{2} \pm a^{2}}}} \mathrm{~ d} x = \ln |x + \textcolor{springgreen}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2} }}| + C$$

$$
\ln |x + \sqrt{1 + x^{2}}| + C_{1} \Rightarrow
$$

$x \leqslant 0$ 时一定有 $x + \sqrt{1 + x^{2}} > 0$, 因此：

$$
F(x) = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C_{1}
$$

当 $x > 0$ 时：

$$
F(x) = \int [(x+1) \cos x] \mathrm{~ d} x =
$$

$$
\int x \cos x \mathrm{~ d} x + \int \cos x \mathrm{~ d} x =
$$

$$
\int x \mathrm{~ d} (\sin x) + \sin x =
$$

$$
x \sin x – \int \sin x \mathrm{~ d} x + \sin x =
$$

$$
x \sin x + \cos x + \sin x + C_{2} \Rightarrow
$$

$$
F(x) = (x + 1) \sin x + \cos x + C_{2}
$$

又因为，$F(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，因此：

$$
0 + C_{1} = 1 + C_{2}
$$

于是：

$$
\textcolor{springgreen}{
F(x) = \begin{cases}
\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) + 1 + C, & x \leqslant 0 \\
(x + 1) \sin x + \cos x + C, & x > 0
\end{cases}
}
$$

综上可知，(D) 选项正确。

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