震荡无极限的三角函数 sin 和 cos 具有“自限性”

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} \ln \left(1+x^{3}\right) \sin \frac{1}{x}, & x>0 \\
-0, & x=0, \\
\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~d} t, & x<0
\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处：

(A) 不连续

(B) 连续但不可导

(C) 可导但导函数不连续

(D) 可导且导函数连续

难度评级：

二、解析

首先：

$$
\left(\int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t\right)_{x}^{\prime}=2 x \sin x^{2} \sim k x^{3} \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t \sim k x^{4}
$$

所以：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{3}}{x} \sin \frac{1}{x}=0
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} \int_{0}^{x^{3}} \sin t \mathrm{~ d} t \approx \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} x^{3}=0
$$

于是可知，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

又：

$$
f^{\prime}\left(0^{+}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-0}{x}=0
$$

$$
f^{\prime}\left(0^{-}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-0}{x}=0
$$

于是可知，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导。

但是，由于：

$$
\left(\frac{1}{x} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t\right)_{x}^{\prime}=\frac{-1}{x^{2}} \int_{0}^{x^{2}} \sin t \mathrm{~ d} t+\frac{1}{x} \cdot 2 x \sin x^{2} \neq 0
$$

于是可知，$f(x)$ 的导数在 $x = 0$ 处不连续。

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