作者： 荒原之梦

一、题目

$$
I = \lim_{ x \rightarrow + \infty} \left[ \frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{\mathrm{e}} \right] = ?
$$

一、前言

不同的数学式子之间相对而言的复杂度肯定是不相同的，但是，我们该如何衡量这里所说的“复杂度”呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」基于乘除法和加减法计算难度的不同，提出了一种衡量式子复杂度的新方式。

一、题目

若函数 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime}(x)$ $=$ $f^{2}(x)$, 则当 $n$ 为大于等于 $2$ 的正整数时，$f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ $=$ $?$

一、前言

在高等数学中，极限问题是一类非常重要的问题。而极限类问题又常常表现为一些 未 定 式 的形式。

但是，什么样的式子是“ 真 未 定 式 ”？什么样的式子是“ 假 未 定 式 ”？对于这些未定式我们又该使用什么样的方法进行转换呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过解题思路简图为同学们做一个详细的讲解。

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

传统上，关于“尖点为什么不可导”，其实并不构成一个“问题”，因为，尖点就是依据其不可导性被定义的。

但是，在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于最基本的数学公理，从全新的“峰”式视角，为同学们解释为什么尖点一定是不可导点，从而让同学们对有关知识建立更加深刻和形象的理解。

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

直观上来说，所谓“尖点”就是很“尖”的点。但是到底有多“尖”才能算尖点呢？

如果用传统的数学语言对尖点进行表述，那就是曲线上的动点在移动的时候，移动方向会瞬间发生改变的点，也就是导数的正负（切线的方向）突然发生改变的点。

例如，图 01 和图 02 中的点 $O (0,0)$ 都是尖点，在点 $O (0, 0)$ 的左右两侧，导数的正负发生了改变：

但是，上述中传统的数学方法，很难用于在直观上判断什么点是尖点，什么点不是尖点。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过独创的“ 落 圆 法 ”，让同学们利用直观的 几 何 性 质 理解“ 尖 点 ”和“ 非 尖 点 ”的区别。

一、前言

在进行极限计算的时候，我们常常会遇到 $x = 0$ 或者 $x \rightarrow 0$ 的情况。那么，在具体计算的时候，我们该如何区分等于零和趋于零在计算过程中的不同性质和作用呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于“峰式思维”为同学们介绍一种解决该问题的“不严谨”但很实用的方法。

一、前言

在高等数学的一些题目中（假设变量为 $x$），我们会遇到需要区分：
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow 0^{+}$ 和 $x \rightarrow 0^{-}$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow k^{+}$ 和 $x \rightarrow k^{-}$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow + \infty$ 和 $x \rightarrow – \infty$
的情况（其中 $k$ 为常数）。

以及不需要区分正负，只需要考虑：
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow 0$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow k$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow \infty$
的情况。

那么，我们该怎么判度一个含有极限的极限式子是否需要考虑极限的正负呢？

在本文中，「 荒 原 之 梦 考 研 数 学 」将通过思路图和例题，为同学们讲清楚这个问题。

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

函数与数列具有很多相似的性质，例如敛散性和单调性等，但毕竟函数是一个基于“连续”的数学概念，而数列是一个基于“离散”的数学概念，所以，函数和数列之间也存在着诸多的区别。

那么，如果让函数和数列，通过嵌套复合的方式组成新的数列，则新数列的敛散性和单调性会呈现出来什么样的性质呢，我们该如何快速、形象又准确地判断出来这些性质呢？

在本文中，「 荒 原 之 梦 考 研 数 学 」将使用“ 峰 式 ”解法和传统解法两种方法为同学们提供一些求解此类问题的全新思路，希望可以帮助同学们提升解决这类问题的速度并理清相关思路。

一、前言

在做数学题的时候，掌握一些计算技巧，可以帮助我们加快解题速度。在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学讲解一下形如下面这个“嵌套分式”的快速等价变形计算方法：

$$
\frac{a/b}{c/d}
$$