二阶欧拉方程的构型(B029)

问题

已知 $a$ 和 $b$ 为常数,则以下方程中,哪个是二阶欧拉方程?

选项

[A].   $x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $b$ $y^{\prime \prime}$ $=$ $f(x)$

[B].   $a$ $x$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $x$ $y^{\prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

[C].   $x^{3}$ $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $a$ $x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

[D].   $x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$


显示答案

$x^{2}$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $a$ $x$ $y^{\prime}$ $+$ $b$ $y$ $=$ $f(x)$

二阶常系数线性非齐次方程的特解:当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 是特征根时(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性非齐次方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则,当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\sin \beta x$ 或 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\cos \beta x$ 且 $a$ 不是特征根时,该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $-$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$


显示答案

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 是特征根,$k$ $=$ $1$.

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式,$Q_{n}(x)$, $W_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

二阶常系数线性非齐次方程的特解:当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根时(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性非齐次方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则,当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\sin \beta x$ 或 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\cos \beta x$ 且 当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根时,该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $-$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$


显示答案

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{k}$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $\big[$ $Q_{n}(x)$ $\cos \beta x$ $+$ $W_{n}(x)$ $\sin \beta x$ $\big]$

当 $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ 不是特征根,$k$ $=$ $0$.

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式的一般形式,$Q_{n}(x)$, $W_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

二阶常系数线性非齐次方程的特解:当 $a$ 是特征方程的重根时(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性非齐次方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则,当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 是特征方程的重根时,该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $\frac{1}{x^{2}}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$


显示答案

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式,$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

二阶常系数线性非齐次方程的特解:当 $a$ 是特征方程的单根时(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性非齐次方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则,当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 是特征方程的单根时,该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $\frac{1}{x}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$


显示答案

$y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式,$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

二阶常系数线性非齐次方程的特解:当 $a$ 不是特征根时(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性非齐次方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则,当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 不是特征根时,该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{\frac{x}{a}}$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$


显示答案

$y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式,$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.

二阶常系数线性非齐次方程的通解(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性非齐次方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

又已知:
1. 该方程对应的齐次方程的通解为 $Y(x)$;
2. 用待定系数法求出的该非齐次方程的特解为 $y^{*}(x)$.

则,该非齐次方程的通解为多少?

选项

[A].   $Y(x)$ $\times$ $y^{*}(x)$

[B].   $Y(x)$ $-$ $y^{*}(x)$

[C].   $Y(x)$ $+$ $y^{*}(x)$

[D].   $\frac{Y(x)}{y^{*}(x)}$


显示答案

$Y(x)$ $+$ $y^{*}(x)$

二阶常系数线性齐次微分方程的通解:$\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ (复根) 时(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性齐次微分方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.

其中,$p$, $q$ 均为常数.

对应的特征方程为:

$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则,当上述特征方程的根 $\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ (复根) 时,该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos \beta x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta x$ $)$

[B].   $y(x)$ $=$ $\beta$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos x$ $+$ $C_{2}$ $\sin x$ $)$

[C].   $y(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos \beta x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta x$ $)$

[D].   $y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$


显示答案

$y(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{\alpha x}$ $($ $C_{1}$ $\cos \beta x$ $+$ $C_{2}$ $\sin \beta x$ $)$

二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性齐次微分方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.

其中,$p$, $q$ 均为常数.

则,该方程的特征方程是多少?

选项

[A].   $\frac{1}{\lambda^{2}}$ $+$ $p$ $\frac{1}{\lambda}$ $+$ $q$ $=$ $0$

[B].   $\lambda^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$

[C].   $\lambda^{2}$ $+$ $\lambda$ $+$ $=$ $0$

[D].   $\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$



显示答案

$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$

二阶常系数线性齐次微分方程的通解:$\lambda_1$ $=$ $\lambda_2$ 时(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性齐次微分方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.

其中,$p$, $q$ 均为常数。

对应的特征方程为:

$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则,当上述特征方程的根 $\lambda_1$ $=$ $\lambda_2$ 时,该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y(x)$ $=$ $\lambda_{1}$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{x}$

[B].   $y(x)$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$

[C].   $y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $x$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$

[D].   $y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$



显示答案

$y(x)$ $=$ $($ $C_{1}$ $+$ $C_{2}$ $x$ $)$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$

二阶常系数线性齐次微分方程的通解:$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 为互异实根时(B029)

问题

已知,有二阶常系数线性齐次微分方程:

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q y$ $=$ $0$.

其中,$p$, $q$ 均为常数。

对应的特征方程为:

$\lambda^{2}$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$.

则,当上述特征方程的根 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 为互异实根时,该微分方程的通解 $y(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y(x)$ $=$ $\lambda_{1}$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{x}$ $+$ $\lambda_{2}$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{x}$

[B].   $y(x)$ $=$ $C$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$

[C].   $y(x)$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$

[D].   $y(x)$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$



显示答案

$y(x)$ $=$ $C_{1}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{1} x}$ $+$ $C_{2}$ $\mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$

全微分方程的通解(B028)

问题

已知,$M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$ 为全微分方程:$M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{\partial M}{\partial y}$ $=$ $\frac{\partial N}{\partial x}$

则,该全微分方程的通解 $?$

选项

[A].   $u(x, y)$ $=$ $\int_{0}^{x}$ $M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{0}^{y}$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $C$

[B].   $u(x, y)$ $=$ $\int_{x}^{x_{0}}$ $M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{y}^{y_{0}}$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $C$

[C].   $u(x, y)$ $=$ $\int_{x_{0}}^{x}$ $M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{y_{0}}^{y}$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $C$

[D].   $u(x, y)$ $=$ $\int_{x_{0}}^{x}$ $M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{y_{0}}^{y}$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $C$



显示答案

$u(x, y)$ $=$ $\int_{x_{0}}^{x}$ $M(x, y)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{y_{0}}^{y}$ $N(x, y)$ $\mathrm{d} y$ $=$ $C$

伯努利方程的转化(B028)

问题

已知,有伯努利方程:$y^{\prime}$ $+$ $p(x)$ $y$ $=$ $q(x)$ $y^{n}$, 其中 $n$ $\neq$ $0$, $1$.

则,若令 $z$ $=$ $y^{1-n}$, 上述伯努利方程方程,可以转化为以下哪个方程?

选项

[A].   $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $(1-n)$ $p(x)$ $z$ $=$ $(1-n)$ $\frac{1}{q(x)}$

[B].   $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $(1+n)$ $p(x)$ $z$ $=$ $(1+n)$ $q(x)$

[C].   $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $-$ $(1+n)$ $p(x)$ $z$ $=$ $(1-n)$ $q(x)$

[D].   $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $(1-n)$ $p(x)$ $z$ $=$ $(1-n)$ $q(x)$



显示答案

伯努利方程可以转化成一阶线性微分方程:

$\frac{1}{1-n}$ $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $p(x)$ $z$ $=$ $q(x)$ $\Rightarrow$

$\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ $+$ $(1-n)$ $p(x)$ $z$ $=$ $(1-n)$ $q(x)$

一阶线性微分方程的求解公式(B028)

问题

已知,$y^{\prime}$ $+$ $p(x) y$ $=$ $q(x)$ 是一阶线性微分方程,则,根据该类型方程的求解公式,$y$ $=$ $?$

选项

[A].   $y$ $=$ $\big[$ $\int$ $q(x)$ $\mathrm{e}^{\int \rho(x) \mathrm{d} x}$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $C$ $\big]$ $\mathrm{e}^{-\int q(x) d x}$

[B].   $y$ $=$ $\big[$ $\int$ $q(x)$ $\mathrm{e}^{\int \rho(x) \mathrm{d} x}$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $C$ $\big]$ $\mathrm{e}^{\int \rho(x) d x}$

[C].   $y$ $=$ $\big[$ $\int$ $q(x)$ $\mathrm{e}^{\int \rho(x) \mathrm{d} x}$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $C$ $\big]$ $\mathrm{e}^{-\int \rho(x) d x}$

[D].   $y$ $=$ $\big[$ $\int$ $q(x)$ $\mathrm{e}^{\rho(x)}$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $C$ $\big]$ $\mathrm{e}^{-\int \rho(x) d x}$



显示答案

$y$ $=$ $\big[$ $\int$ $q(x)$ $\mathrm{e}^{\int \rho(x) \mathrm{d} x}$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $C$ $\big]$ $\mathrm{e}^{-\int \rho(x) d x}$

齐次微分方程的转化(B028)

问题

若令 $u$ $=$ $\frac{y}{x}$, 则齐次方程 $y^{\prime}$ $=$ $f (\frac{y}{x} )$ 可以转化成什么?

选项

[A].   $\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\int$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[B].   $\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[C].   $\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

[D].   $\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)+u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$



显示答案

令 $u$ $=$ $\frac{y}{x}$, 则 $y$ $=$ $u x$, $y^{\prime}$ $=$ $u$ $+$ $x$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$, 于是原方程可化为:

$u$ $+$ $x$ $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$ $=$ $f(u)$ $\Rightarrow$

$\frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} x}{x}$ $\Rightarrow$

$\int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}$ $=$ $\ln |x|$ $+$ $C$

求出积分后, 再用 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$, 便得所给齐次方程的通解.