二阶常系数线性非齐次方程的特解：当 $a$ 是特征方程的重根时（B029）

问题

已知，有二阶常系数线性非齐次方程：

$y^{\prime \prime}$ $+$ $p$ $y^{\prime}$ $+$ $q$ $y$ $=$ $f(x)$.
其中 $p$, $q$ 均为常数.

则，当 $f(x)$ $=$ $P_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$ 且 $a$ 是特征方程的重根时，该非齐次方程的特解 $y^{*}(x)$ $=$ $?$

选项

[A].   $y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[B].   $y^{*}(x)$ $=$ $\frac{1}{x^{2}}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[C].   $y^{*}(x)$ $=$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

[D].   $y^{*}(x)$ $=$ $x$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

   答 案   

$y^{*}(x)$ $=$ $x^{2}$ $R_{n}(x)$ $\mathrm{e}^{a x}$

其中 $P_{n}(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，$R_{n}(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式.