可微的充要条件(B003)

问题

以下哪个选项是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微的【充要】条件?

选项

[A].   $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处没有间断点

[B].   $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有函数值

[C].   $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续

[D].   $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导



显示答案

函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导 $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微

莱布尼兹公式是什么?(B003)

问题

若函数 $a(x)$ 和 $b(x)$ 均 $n$ 阶可导,则以下关于函数 $a(x) \cdot b(x)$ 的 $n$ 阶导【$(ab)^{(n)}$】,正确的是哪个选项?
(Tips:莱布尼兹公式是两个函数乘积的求导法则, 可用于计算两个函数乘积的高阶导数.)

选项

[A].   $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n + i))} b^{(i)}$

[B].   $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $A_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$

[C].   $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$

[D].   $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$



显示答案

$(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$ $=$ $C_{n}^{0}$ $a^{(n)}b^{(0)}$ $+$ $C_{n}^{1}$ $a^{(n – 1)}b’$ $+$ $C_{n}^{2}$ $a^{(n – 2)} {b}^{”}$ $+$ $\cdots$ $C_{n}^{k}$ $a^{(n – k)}b^{(k)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}^{n}$ $a^{(0)}b^{(n)}$

组合的计算示例:
$C_{5}^{3}$ $=$ $\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$ $=$ $10$

此外:$C_{n}^{0}$ $=$ $C_{n}^{n}$ $=$ $1$
$a^{(0)}$ $=$ $a$
$b^{(0)}$ $=$ $b$

$\rm{arccot }$ $\;$ $x$ 的求导公式(B003)

问题

$\rm{arccot} \ x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{1}{1-x^{2}}$

[B].   $(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{-1}{1-x^{2}}$

[C].   $(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

[D].   $(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{-1}{1+x^{2}}$



显示答案

$(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{-1}{1+x^{2}}$

辅助图像:
arccot x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式:

$\arctan x$ 的求导公式(B003)

问题

$\arctan x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\arctan x)’$ $=$ $\frac{-1}{1-x^{2}}$

[B].   $(\arctan x)’$ $=$ $\frac{-1}{1+x^{2}}$

[C].   $(\arctan x)’$ $=$ $\frac{1}{1-x^{2}}$

[D].   $(\arctan x)’$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$



显示答案

$(\arctan x)’$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

辅助图像:
arctan x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式:

$\arccos x$ 的求导公式(B003)

问题

$\arccos x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\arccos x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

[B].   $(\arccos x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

[C].   $(\arccos x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

[D].   $(\arccos x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$



显示答案

$(\arccos x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

辅助图像:
arccos x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式:

$\arcsin x$ 的求导公式(B003)

问题

$\arcsin x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

[B].   $(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

[C].   $(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

[D].   $(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1+x^{2}}}$



显示答案

$(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

辅助图像:
arcsin x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式:

$\ln x$ 的求导公式(B003)

问题

$\ln x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\ln x)’$ $=$ $\ln x$

[B].   $(\ln x)’$ $=$ $x$

[C].   $(\ln x)’$ $=$ $\frac{-1}{x}$

[D].   $(\ln x)’$ $=$ $\frac{1}{x}$



显示答案

$(\ln x)’$ $=$ $\frac{1}{x}$

辅助图像:
ln x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式:

$\log_{a}^{x}$ 的求导公式(B003)

问题

$\log_{a}^{x}$ 的求导公式是什么?
其中,$a$ 为常数.

选项

[A].   $(\log_{a}^{x})’$ $=$ $\frac{1}{a \ln x}$

[B].   $(\log_{a}^{x})’$ $=$ $\frac{1}{\ln a}$

[C].   $(\log_{a}^{x})’$ $=$ $x \ln a$

[D].   $(\log_{a}^{x})’$ $=$ $\frac{1}{x \ln a}$



显示答案

$(\log_{a}^{x})’$ $=$ $\frac{1}{x \ln a}$

辅助图像:
log_{a}^{x} 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 当 $a$ $=$ $10$ 时,红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式:

$e^{x}$ 的求导公式(B003)

问题

$e^{x}$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(e^{x})’$ $=$ $ex$

[B].   $(e^{x})’$ $=$ $e$

[C].   $(e^{x})’$ $=$ $1$

[D].   $(e^{x})’$ $=$ $e^{x}$



显示答案

$(e^{x})’$ $=$ $e^{x}$

辅助图像:
e^x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像.

基本求导公式:

$a^{x}$ 的求导公式(B003)

问题

$a^{x}$ 的求导公式是什么?
其中,$a$ 为常数.

选项

[A].   $(a^{x})’$ $=$ $\ln a^{x}$

[B].   $(a^{x})’$ $=$ $a \ln a$

[C].   $(a^{x})’$ $=$ $\frac{x}{a}$

[D].   $(a^{x})’$ $=$ $a^{x} \ln a$



显示答案

$(a^{x})’$ $=$ $a^{x} \ln a$

辅助图像:
a^x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 当 $a$ $=$ $10$ 时,红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式:

$\csc x$ 的求导公式(B003)

问题

$\csc x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\csc x)’$ $=$ $- \sec x \cdot \cot x$

[B].   $(\csc x)’$ $=$ $\csc x – \cot x$

[C].   $(\csc x)’$ $=$ $\csc x \cdot \cot x$

[D].   $(\csc x)’$ $=$ $- \csc x \cdot \cot x$



显示答案

$(\csc x)’$ $=$ $(\frac{1}{\sin x})’$ $=$ $- \csc x \cdot \cot x$

辅助图像:
csc x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式:

$\sec x$ 的求导公式(B003)

问题

$\sec x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\sec x)’$ $=$ $\csc x + \tan x$

[B].   $(\sec x)’$ $=$ $\csc x \cdot \tan x$

[C].   $(\sec x)’$ $=$ $\sec x – \tan x$

[D].   $(\sec x)’$ $=$ $\sec x \cdot \tan x$



显示答案

$(\sec x)’$ $=$ $(\frac{1}{\cos})’$ $=$ $\sec x \cdot \tan x$

辅助图像:
sec x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式:

$\cot x$ 的求导公式(B003)

问题

$\cot x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\cot x)’$ $=$ $- \sec^{2} x$

[B].   $(\cot x)’$ $=$ $\csc^{2} x$

[C].   $(\cot x)’$ $=$ $- \csc^{2} x$

[D].   $(\cot x)’$ $=$ $\sec^{2} x$



显示答案

$(\cot x)’$ $=$ $- \csc^{2} x$ $=$ $-(\frac{1}{\sin x})^{2}$

辅助图像:
cot x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式:

$\tan x$ 的求导公式(B003)

问题

$\tan x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\tan x)’$ $=$ $\csc^{2} x$

[B].   $(\tan x)’$ $=$ $\sec x$

[C].   $(\tan x)’$ $=$ $\sec^{2} x$

[D].   $(\tan x)’$ $=$ $\csc x$



显示答案

$(\tan x)’$ $=$ $\sec^{2} x$ $=$ $(\frac{1}{\cos x})^{2}$

辅助图像:
tan x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式:

$\cos x$ 的求导公式(B003)

问题

$\cos x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\cos x)’$ $=$ $- \sin x$

[B].   $(\cos x)’$ $=$ $- \cos x$

[C].   $(\cos x)’$ $=$ $\cos x$

[D].   $(\cos x)’$ $=$ $\sin x$



显示答案

$(\cos x)’$ $=$ $- \sin x$

辅助图像:
cos x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式: