可微的充要条件(B003)

问题

以下哪个选项是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微的【充要】条件?

选项

[A].   $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导
[B].   $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处没有间断点
[C].   $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有函数值
[D].   $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续

显示答案

函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导 $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微

莱布尼兹公式是什么?(B003)

问题

若函数 $a(x)$ 和 $b(x)$ 均 $n$ 阶可导,则以下关于函数 $a(x) \cdot b(x)$ 的 $n$ 阶导【$(ab)^{(n)}$】,正确的是哪个选项?
(Tips:莱布尼兹公式是两个函数乘积的求导法则, 可用于计算两个函数乘积的高阶导数.)

选项

[A].   $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$
[B].   $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n + i))} b^{(i)}$
[C].   $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $A_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$
[D].   $(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$

显示答案

$(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$ $=$ $C_{n}^{0}$ $a^{(n)}b^{(0)}$ $+$ $C_{n}^{1}$ $a^{(n – 1)}b’$ $+$ $C_{n}^{2}$ $a^{(n – 2)} {b}^{”}$ $+$ $\cdots$ $C_{n}^{k}$ $a^{(n – k)}b^{(k)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}^{n}$ $a^{(0)}b^{(n)}$

组合的计算示例:
$C_{5}^{3}$ $=$ $\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$ $=$ $10$

此外:$C_{n}^{0}$ $=$ $C_{n}^{n}$ $=$ $1$
$a^{(0)}$ $=$ $a$
$b^{(0)}$ $=$ $b$

$\rm{arccot }$ $\;$ $x$ 的求导公式(B003)

问题

$\rm{arccot} \ x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$
[B].   $(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{-1}{1+x^{2}}$
[C].   $(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{1}{1-x^{2}}$
[D].   $(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{-1}{1-x^{2}}$

显示答案

$(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{-1}{1+x^{2}}$

辅助图像:

$\arctan x$ 的求导公式(B003)

问题

$\arctan x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\arctan x)’$ $=$ $\frac{1}{1-x^{2}}$
[B].   $(\arctan x)’$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$
[C].   $(\arctan x)’$ $=$ $\frac{-1}{1-x^{2}}$
[D].   $(\arctan x)’$ $=$ $\frac{-1}{1+x^{2}}$

显示答案

$(\arctan x)’$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

辅助图像:
arctan x 的求导公式-高等数学-荒原之梦
图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像,蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

$\arccos x$ 的求导公式(B003)

问题

$\arccos x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\arccos x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
[B].   $(\arccos x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
[C].   $(\arccos x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
[D].   $(\arccos x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

显示答案

$(\arccos x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$\arcsin x$ 的求导公式(B003)

问题

$\arcsin x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
[B].   $(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1+x^{2}}}$
[C].   $(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
[D].   $(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

显示答案

$(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$\log_{a}^{x}$ 的求导公式(B003)

问题

$\log_{a}^{x}$ 的求导公式是什么?
其中,$a$ 为常数.

选项

[A].   $(\log_{a}^{x})’$ $=$ $\frac{1}{x \ln a}$
[B].   $(\log_{a}^{x})’$ $=$ $\frac{1}{a \ln x}$
[C].   $(\log_{a}^{x})’$ $=$ $\frac{1}{\ln a}$
[D].   $(\log_{a}^{x})’$ $=$ $x \ln a$

显示答案

$(\log_{a}^{x})’$ $=$ $\frac{1}{x \ln a}$

$\csc x$ 的求导公式(B003)

问题

$\csc x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\csc x)’$ $=$ $- \csc x \cdot \cot x$
[B].   $(\csc x)’$ $=$ $- \sec x \cdot \cot x$
[C].   $(\csc x)’$ $=$ $\csc x – \cot x$
[D].   $(\csc x)’$ $=$ $\csc x \cdot \cot x$

显示答案

$(\csc x)’$ $=$ $(\frac{1}{\sin x})’$ $=$ $- \csc x \cdot \cot x$

$\sec x$ 的求导公式(B003)

问题

$\sec x$ 的求导公式是什么?

选项

[A].   $(\sec x)’$ $=$ $\csc x \cdot \tan x$
[B].   $(\sec x)’$ $=$ $\sec x – \tan x$
[C].   $(\sec x)’$ $=$ $\sec x \cdot \tan x$
[D].   $(\sec x)’$ $=$ $\csc x + \tan x$

显示答案

$(\sec x)’$ $=$ $(\frac{1}{\cos})’$ $=$ $\secx \cdot \tan x$