快速求导的策略：幂指数相同时先合并幂指数

一、前言

下面的函数怎么做求导操作，计算速度更快一些：

$$\begin{array}{rl}{y}_1& ={(x-1)}^3\cdot {(x-2)}^3\\ \\ y_2& ={(x-1)}^3\cdot {(x-2)}^6\end{array}$$

二、正文

函数 $y_1$ 的两种求导方法对比

对于函数 $y_1$, 直接进行求导的步骤如下（ 复 杂 ）：

$$\begin{array}{rl}{y}_1^{\prime }& ={[{(x-1)}^3\cdot {(x-2)}^3]}^{\prime }\\ \\ & =3{(x-1)}^2\cdot 1\cdot {(x-2)}^3+{(x-1)}^3\cdot 3{(x-2)}^2\cdot 1\\ \\ & =3{(x-1)}^2\cdot {(x-2)}^3+3{(x-1)}^3\cdot {(x-2)}^2\\ \\ & =3[{(x-1)}^2\cdot {(x-2)}^2]\cdot [(x-2)+(x-1)]\end{array}$$

对于函数 $y_1$, 先合并幂指数，再进行求导的步骤如下（ 简 单 ）：

$$\begin{array}{rl}{y}_1^{\prime }& ={[{(x-1)}^3\cdot {(x-2)}^3]}^{\prime }\\ \\ & ={\left\{{\left[(x-1)(x-2)\right]}^3\right\}}^{\prime }\\ \\ & =3{\left[(x-1)(x-2)\right]}^2\cdot [1\cdot (x-2)+(x-1)\cdot 1]\\ \\ & =3{\left[(x-1)(x-2)\right]}^2\cdot [(x-2)+(x-1)]\end{array}$$

函数 $y_2$ 的两种求导方法对比

对于函数 $y_2$, 直接进行求导的步骤如下（ 简 单 ）：

$$\begin{array}{rl}{y}_2^{\prime }& ={[{(x-1)}^3\cdot {(x-2)}^6]}^{\prime }\\ \\ & =3{(x-1)}^2\cdot 1\cdot {(x-2)}^6+{(x-1)}^3\cdot 6{(x-2)}^5\cdot 1\\ \\ & =3{(x-1)}^2\cdot {(x-2)}^6+{(x-1)}^3\cdot 6{(x-2)}^5\\ \\ & =3[{(x-1)}^2\cdot {(x-2)}^5]\cdot [(x-2)+2(x-1)]\end{array}$$

对于函数 $y_2$, 先合并幂指数，再进行求导的步骤如下（ 复 杂 ）：

$$\begin{array}{rl}{y}_2^{\prime }& ={[{(x-1)}^3\cdot {(x-2)}^6]}^{\prime }\\ \\ & ={\left\{{[(x-1)\cdot {(x-2)}^2]}^3\right\}}^{\prime }\\ \\ & =3{[(x-1)\cdot {(x-2)}^2]}^2\cdot [1\cdot {(x-2)}^2+(x-1)\cdot 2(x-2)\cdot 1]\\ \\ & =3{[(x-1)\cdot {(x-2)}^2]}^2\cdot [{(x-2)}^2+(x-1)\cdot 2(x-2)]\\ \\ & =3[{(x-1)}^2\cdot {(x-2)}^5]\cdot [(x-2)+2(x-1)]\end{array}$$

三、总结

总上面的对比可以看出：

对于幂指数相同的乘积因式做求导运算时，先合并（或者说“提取”）幂指数可以简化运算；

对于幂指数不相同的乘积因式做求导运算时，不宜先合并幂指数，而适宜直接进行计算。

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