取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法

一、题目

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{2 x}}{1+x^{2}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}=?
$$

难度评级：

二、解析

Tips:
基础知识：《什么时候该用“取大头”，什么时候不该用“取大头”？》

解法 1：取大头

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2} e^{2 x}}{1+x^{2}\left(e^{x}+1\right)^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2} e^{2 x}}{x^{2}\left(e^{x}+1\right)^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{2 x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{2 x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}=1.
$$

解法 2：构造 $e^{- \infty} \rightarrow 0$

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2} e^{2 x}}{1+x^{2}\left(e^{x}+1\right)^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{ (x^{2} e^{2 x}) \cdot x^{-2} e^{-2 x} }{ [1+x^{2}\left(e^{x}+1\right)^{2}] \cdot x^{- 2} e^{- 2 x} }=
$$

构造无穷小，分子有理化：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{ 1 }{ [1+x^{2}\left(e^{x}+1\right)^{2}] \cdot x^{- 2} e^{- 2 x} }=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{ 1 }{ x^{-2} e^{-2x} + e^{-2x} (e^{x} +1)^{2} }=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{ 1 }{ x^{-2} e^{-2x} + (e^{-x})^{2} (e^{x} +1)^{2} }=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{ 1 }{ x^{-2} e^{-2x} + (1 + e^{-x})^{2} }.
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} (1 + e^{-x})^{2} = 1^{2} = 1.
$$

且：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{-2} e^{-2x} =
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{-2x} }{x^{2}} \Rightarrow
$$

这是一个 $\frac{0}{\infty}$ 型极限，根据《0/∞ 型和 ∞/0 型的极限等于什么？》这篇文章，可知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{-2x} }{x^{2}} = 0
$$

也就是说，$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{-2} e^{-2x}$ 和 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} (1 + e^{-x})^{2}$ 这两个极限都存在，于是，根据《极限都存在时的四则运算规律》，我们有：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{ 1 }{ x^{-2} e^{-2x} + (1 + e^{-x})^{2} } =
$$

$$
\frac{ 1 }{ \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{-2} e^{-2x} + \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} (1 + e^{-x})^{2} } = \frac{1}{0 + 1} = 1.
$$

注意：

$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}$ $\frac{ 1 }{ x^{-2} e^{-2x} + (1 + e^{-x})^{2} }$ $\neq$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}$ $\frac{1}{x^{-2} e^{-2x}}$ $+$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}$ $\frac{1}{(1 + e^{-x})^{2}}$.

况且 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^{-2} e^{-2x}}$ 的极限是不存在的，更不能进行拆分。

相关例题

[01]. 对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头”

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