取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法

一、题目

$$I=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2{\mathrm{e}}^{2x}}{1+x^2{({\mathrm{e}}^x+1)}^2}=?$$

难度评级：

二、解析

Tips:
基础知识：《什么时候该用“取大头”，什么时候不该用“取大头”？》

解法 1：取大头

$$I=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2{e}^{2x}}{1+x^2{(e^x+1)}^2}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2{e}^{2x}}{x^2{(e^x+1)}^2}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{2x}}{{(e^x+1)}^2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{2x}}{{\left(e^x\right)}^2}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{2x}}{e^{2x}}=1.$$

解法 2：构造 $e^{-\mathrm{\infty }}\to 0$

$$I=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2{e}^{2x}}{1+x^2{(e^x+1)}^2}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{(x^2{e}^{2x})\cdot x^{-2}{e}^{-2x}}{[1+x^2{(e^x+1)}^2]\cdot x^{-2}{e}^{-2x}}=$$

构造无穷小，分子有理化：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{[1+x^2{(e^x+1)}^2]\cdot x^{-2}{e}^{-2x}}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^{-2}{e}^{-2x}+e^{-2x}(e^x+1{)}^2}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^{-2}{e}^{-2x}+(e^{-x}{)}^2(e^x+1{)}^2}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^{-2}{e}^{-2x}+(1+e^{-x}{)}^2}.$$

又：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+e^{-x}{)}^2=1^2=1.$$

且：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{-2}{e}^{-2x}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{-2x}}{x^2}\Rightarrow$$

这是一个 $\frac{0}{\mathrm{\infty }}$ 型极限，根据《0/∞ 型和 ∞/0 型的极限等于什么？》这篇文章，可知：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^{-2x}}{x^2}=0$$

也就是说，$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{-2}{e}^{-2x}$ 和 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+e^{-x}{)}^2$ 这两个极限都存在，于是，根据《极限都存在时的四则运算规律》，我们有：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^{-2}{e}^{-2x}+(1+e^{-x}{)}^2}=$$

$$\frac{1}{\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^{-2}{e}^{-2x}+\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+e^{-x}{)}^2}=\frac{1}{0+1}=1.$$

注意：

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{1}{x^{-2}{e}^{-2x}+(1+e^{-x}{)}^2}$ $\ne$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{1}{x^{-2}{e}^{-2x}}$ $+$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{1}{(1+e^{-x}{)}^2}$.

况且 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^{-2}{e}^{-2x}}$ 的极限是不存在的，更不能进行拆分。

相关例题

[01]. 对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头”

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