极限都存在时的四则运算规律

一、前言

如果每个分式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限都存在，那么，他们之间的加减乘除四则运算规律是怎样的呢？

二、正文

若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$, $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 都存在，则：

$$\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \pm g(x)]=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \pm \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \times g(x)]=\left[\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)\right] \times \left[\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)\right]
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)}{\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)} \rightleftarrows \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x) \neq 0
$$

总的来说就是，如果每个分式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限都存在，那么，对他们先做四则运算，后求极限，得到的结果，与先对他们分别求极限，后做四则运算，得到的结果，是一样的。

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