比较两个无穷大（或无穷小）量的大小，需要用除法而不是减法

一、前言

如果要比较两个有限量 $a$ 和 $b$ 的大小，我们直接用减法，判断 $a – b$ 的结果是大于零还是小于零即可。

但是，如果要比较两个无穷大量的大小，还能用减法吗？

下面就以无穷大量 $\lim_{n \rightarrow \infty} x^{n}$ 和 $\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{x^{2}}{2})^{n}$ 的比较为例进行说明。

二、正文

比较 $\lim_{n \rightarrow \infty} x^{n}$ 和 $\lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{x^{2}}{2})^{n}$ 的大小，其中 $x > 0$.

如果用减法判断两个无穷大量的大小，会出现无法判断的情况：

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n}-\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} \Rightarrow
$$

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[x^{n}-\frac{1}{2^{n}} x^{2^{n}}\right] \Rightarrow
$$

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[x^{n}\left(1-\frac{1}{2^{n}} x^{2}\right)\right] \Rightarrow
$$

由于 $x^{n}>0$, 因此，若要使 $I > 0$, 则有：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{2^{n}} x^{2}\right)>0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} x^{2}<1.
$$

但是，做到上面这一步我们仍然无法确定 $x$ 的取值范围。

因此，参考等价无穷小，同阶无穷小，高阶无穷小和低阶无穷小的定义可知，需要用除法判断两个无穷大量的大小：

事实上，必须使用除法判断无穷量大小的另一种理解就是：加减法对于无穷量的影响是可以忽略不计的，因此，只能使用更具“影响力”的乘除法才能比较出无穷量的大小。

$$
K=\frac{\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n}}{\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{\frac{x^{2}}{2}}\right)^{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{x}\right)^{n}.
$$

于是：

$$
\frac{2}{x}<1 \Rightarrow x>2
$$

$$
\frac{2}{x}>1 \Rightarrow 0<x<2
$$

进而，有：

$$
x>2 \Rightarrow K \rightarrow 0 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} \ll \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} + \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} \quad (x > 2)
$$

且有：

$$
0<x<2 \Rightarrow K \rightarrow \infty \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} \gg \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} + \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{n} = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x^{n} \quad (0<x<2)
$$

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