有界函数乘以零得零：但反过来并不成立

一、题目

下列命题正确的是哪个？

(A) 设在 $x=x_{0}$ 空心邻域 $\alpha(x)$ 为有界函数，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

(B) 设 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $\alpha(x)$ 为无穷小，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=a \neq 0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=\infty$.

(C) 设 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $\alpha(x)$ 为无穷大，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=a$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

(D) 设在 $x=x_{0}$ 空心邻域 $\alpha(x)$ 为无界函数，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

难度评级：

二、解析

A 选项

题干

设在 $x=x_{0}$ 空心邻域 $\alpha(x)$ 为有界函数，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

反例 01

若：

$$
\alpha(x) = \begin{cases}
1, & x 为有理数; \\
0, & x 为无理数
\end{cases}
$$

$$
\beta(x) = \begin{cases}
0, & x 为有理数; \\
1, & x 为无理数
\end{cases}
$$

满足 $\alpha(x)$ 为有界函数且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$, 但是不满足 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

反例 02

若：

$$
\beta(x) = \alpha(x) \beta(x) \cdot \frac{1}{\alpha(x)}
$$

满足 $\alpha(x)$ 为有界函数且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$, 但 $\beta(x)$ 不一定等于零。

综上，A 选项错误。

B 选项

题干

设 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $\alpha(x)$ 为无穷小，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=a \neq 0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=\infty$.

分析

当 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ 是一个常数，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x)$ 是一个无穷小量时，$\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)$ 也必须是无穷小量，即：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x) = 0
$$

综上，B 选项错误。

C 选项

题干

设 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $\alpha(x)$ 为无穷大，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=a$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

分析

若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)$ 是一个常数，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x)$ 是一个无穷大量，则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha(x)}{\frac{1}{\beta(x)}}$ 中的 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{1}{\beta(x)}$ 也必须是一个无穷大量，于是：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x) = 0
$$

综上，C 选项正确。

D 选项

题干

设在 $x=x_{0}$ 空心邻域 $\alpha(x)$ 为无界函数，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

分析

若 $\alpha(x)$ 为无界函数，且 $\beta(x)$ 刚好是在函数图像上与 $\alpha(x)$ 的图象完全相反的无界函数，则也能使 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$ 成立，此时，$\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x) \neq 0$.

此外，我们也可以像 A 选项中的反例一样，令 $\beta(x) = \alpha(x) \beta(x) \cdot \frac{1}{\alpha(x)}$, 则满足 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$, 但由于 $\frac{1}{\alpha(x)}$ 不一定是有界函数，因此不一定有 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

综上，D 选项错误。

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