取极限“抓大头”、“抓小头”的适用范围：一般只适用于分式的分子和分母中都存在变量且抓大头之后式子整体的极限存在

一、前言

在计算极限问题时，使用“抓大头”和“抓小头”的计算方式，有时候可以加快计算速度，但是，这种计算极限的方式不能随便使用——在用之前，必须清楚当前的情况是否能用抓大头和抓小头的计算方式，否则极易出现错误。

二、正文

一般情况下，“抓大头”的使用条件如下（“抓小头”同理）：

• 式子是一个分式；
• 分子和分母中都存在趋于极限的变量；
• 抓大头之后式子整体不等于零；
• 一般能用到抓大头的题目中，极限都是存在的，因此，如果抓大头之后发现极限仍为无穷大，也要考虑抓大头的操作是否该用或者是否用对了。

下面是几个例子：

例 1：

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}+n+1}{3 n^{2}+n+2} \Rightarrow
$$

可以“抓大头”：

$$
I = \frac{1}{3}.
$$

例 2：

直接“抓大头”就是错的：

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}-n}\right) \neq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} (n – n) = 0.
$$

正确的“抓大头”：

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}-n}\right) \Rightarrow
$$

分子有理化：

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n}{\sqrt{n^{2}+n}+\sqrt{n^{2}-n}} \Rightarrow
$$

抓大头：

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n}{2 n}=1.
$$

例 3：

直接“抓大头”就是错的：

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{2}+3 n} \neq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{2}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n.
$$

正确的“抓大头”：

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{2}+3 n} \Rightarrow
$$

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{2} (1 + \frac{3}{n}) } \Rightarrow
$$

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \sqrt{ (1 + \frac{3}{n}) } \Rightarrow
$$

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n (1 + \frac{3}{n})^{\frac{1}{2}} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\alpha} = \alpha x \Rightarrow
$$

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{n} = \frac{3}{2}.
$$

---

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