对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头”

一、题目

难度评级：

二、解析

分析可知，本题需要我们判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，以及当 $x \rightarrow \infty$ 时的有界性。

奇偶性

由于：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{f(-x)} \\
& = \sqrt{1-x+x^{2}} \quad – \quad \sqrt{1+x+x^{2}} \\ \\
& = – \left( \sqrt{1+x+x^{2}} \quad – \quad \sqrt{1-x+x^{2}} \right) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{-f(x)}
\end{aligned}
$$

因此可知，$f(x)$ 是奇函数，B 选项错误。

有界性

在非分式的加减号两端分别做抓大头操作，得到的结果一般是错误的。例如，下面的计算就是错误的：
$\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x) & = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \left( \sqrt{1+x+x^{2}} \quad – \quad \sqrt{1-x+x^{2}} \right) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \left( \sqrt{x^{2}} \quad – \quad \sqrt{x^{2}} \right) \\ \\
& = \textcolor{orangered}{0}
\end{aligned}$

根据荒原之梦考研数学《取极限“抓大头”、“抓小头”的适用范围》这篇笔记，正确的抓大头是需要在分式的分子和分母的比较中，去掉相对较大的部分，因此，我们首先要进行分子有理化，之后再“抓大头”：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{\textcolor{orangered}{ \boldsymbol{ x \rightarrow + \infty }}} f(x) & = \lim \limits_{x \rightarrow + \infty}\left(\sqrt{1+x+x^{2}} \quad – \quad \sqrt{1-x+x^{2}}\right) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow + \infty}\left( \frac{\sqrt{1+x+x^{2}} \quad – \quad \sqrt{1-x+x^{2}}}{1} \right) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{2 x}{\sqrt{1+x+x^{2}} \quad + \quad \sqrt{1-x+x^{2}}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt{x^{2}} + \sqrt{x^{2}}}{\sqrt{1+x+x^{2}} \quad + \quad \sqrt{1-x+x^{2}}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{x + x}{\sqrt{1+x+x^{2}} \quad + \quad \sqrt{1-x+x^{2}}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{2x}{x \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}+1} \quad + \quad x \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}+1}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1} \quad + \quad \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}+1}} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{1}
\end{aligned}
$$

同理：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{\textcolor{orangered}{ \boldsymbol{ x \rightarrow – \infty }}} f(x) & = \lim \limits_{x \rightarrow – \infty}\left(\sqrt{1+x+x^{2}}\quad – \quad \sqrt{1-x+x^{2}}\right) \\ \\
& =\lim \limits_{x \rightarrow – \infty}\left( \frac{\sqrt{1+x+x^{2}} \quad – \quad \sqrt{1-x+x^{2}}}{1} \right) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow – \infty} \frac{ \sqrt{x^{2}} + \sqrt{x^{2}} }{\sqrt{1+x+x^{2}} \quad + \quad \sqrt{1-x+x^{2}}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow – \infty} \frac{ (-x) + (-x) }{\sqrt{1+x+x^{2}} \quad + \quad \sqrt{1-x+x^{2}}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow – \infty} \frac{ -2x }{\sqrt{1+x+x^{2}} \quad + \quad \sqrt{1-x+x^{2}}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow – \infty} \frac{-2x}{x \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}+1} \quad + \quad x \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}+1}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow – \infty} \frac{-2}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1} \quad + \quad \sqrt{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}+1}} \\ \\
& = \frac{-2}{2} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{-1}
\end{aligned}
$$

即：

$$
\begin{cases}
\lim \limits_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 1 \\ \\
\lim \limits_{x \rightarrow – \infty} f(x) = -1
\end{cases}
\textcolor{orangered}{ \quad \nRightarrow \quad }
\lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1
$$

所以，C 和 D 选项都不对。

综上可知，本题应选 A .

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