计算极限问题时“抓大头”要慎重!

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right)=?
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

在本题中,会用到“抓大头”的极限解题思路,这部分内容可以参考荒原之梦网的解析文章(如果对这类题目不够熟悉,建议先阅读下面链接中的文章,之后再阅读本文):

取极限“抓大头”、“抓小头”的适用范围:一般只适用于分式的分子和分母中都存在变量且抓大头之后式子整体的极限存在

正确的解法 1

由于平方运算会导致位于 $X$ 轴下方的图象翻到 $X$ 轴上方,因此,$\sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right)$ 的周期为 $\pi$, 于是:

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}-n \pi\right) \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}-n \pi\right)=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\pi\left(\sqrt{n^{2}+3 n}-n\right)\right]=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^{2}+3 n}-n}{1}\right]=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\pi \frac{n^{2}+3 n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+3 n}+n}\right]=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\pi \frac{3 n}{\sqrt{n^{2}}+n}\right] =
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\pi \frac{3 n}{2 n}\right]=\frac{3}{2} \pi.
$$

于是:

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\frac{3}{2} \pi\right)=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1^{2}=1.
$$

正确的解法 2:

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(n \pi \sqrt{1+\frac{3}{n}}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left[n \pi\left(1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{n}\right)\right] \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left(n \pi+\frac{3}{2} \pi\right)=\sin ^{2}\left(\frac{3}{2} \pi\right)=(-1)^{2}=1
$$

正确的解法 3:

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left(n \pi \sqrt{1+\frac{3}{n}}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left[\frac{\sqrt{1+\frac{3}{n}}}{\frac{1}{n}}\right] \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left(\frac{\frac{1}{2} \frac{3}{n}+1}{\frac{1}{n}}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left(\frac{3}{2} \pi+n \pi\right)= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\frac{3}{2} \pi\right)=(-1)^{2}=1
$$

错误的解法 1:

$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right) \Rightarrow
$$

错误的取大头:

$$
I \neq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}}\right) = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left( n \pi \right).
$$

错误的解法 2:

$$
I= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}+n \pi\right) \Rightarrow
$$

$$
I= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left[\pi \frac{n^{2}+3 n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+3 n}-n}\right] \Rightarrow
$$

$$
I= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left[\pi \frac{3 n}{\sqrt{n^{2}+3 n}-n}\right].
$$

上面的解法 2 不能说是错误的,只是这么进行求解无法解出最终答案,因为,$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt{n^{2}+3 n}-n$ 是 $0 – 0$ 型的极限,不能直接使用“抓大头”的解法,还需要继续变形。

不过,这个解法也告诉我们一个解题技巧:对于周期函数而言,通过加上诺干周期解决不了问题的话,可以尝试减去诺干周期来解决,反之也一样。