# 计算极限问题时“抓大头”要慎重！

## 一、题目

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right)=?$$

## 二、解析

### 正确的解法 1

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right) \Rightarrow$$

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}-n \pi\right) \Rightarrow$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}-n \pi\right)=$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\pi\left(\sqrt{n^{2}+3 n}-n\right)\right]=$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^{2}+3 n}-n}{1}\right]=$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\pi \frac{n^{2}+3 n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+3 n}+n}\right]=$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\pi \frac{3 n}{\sqrt{n^{2}}+n}\right] =$$

$$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\pi \frac{3 n}{2 n}\right]=\frac{3}{2} \pi.$$

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\frac{3}{2} \pi\right)=\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1^{2}=1.$$

### 正确的解法 2：

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right) \Rightarrow$$

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(n \pi \sqrt{1+\frac{3}{n}}\right) \Rightarrow$$

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left[n \pi\left(1+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{n}\right)\right] \Rightarrow$$

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left(n \pi+\frac{3}{2} \pi\right)=\sin ^{2}\left(\frac{3}{2} \pi\right)=(-1)^{2}=1$$

### 正确的解法 3：

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right) \Rightarrow$$

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left(n \pi \sqrt{1+\frac{3}{n}}\right) \Rightarrow$$

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left[\frac{\sqrt{1+\frac{3}{n}}}{\frac{1}{n}}\right] \Rightarrow$$

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left(\frac{\frac{1}{2} \frac{3}{n}+1}{\frac{1}{n}}\right) \Rightarrow$$

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\sin ^{2}\left(\frac{3}{2} \pi+n \pi\right)= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\frac{3}{2} \pi\right)=(-1)^{2}=1$$

### 错误的解法 1：

$$I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right) \Rightarrow$$

$$I \neq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}}\right) = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left( n \pi \right).$$

### 错误的解法 2：

$$I= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}+n \pi\right) \Rightarrow$$

$$I= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left[\pi \frac{n^{2}+3 n-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+3 n}-n}\right] \Rightarrow$$

$$I= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left[\pi \frac{3 n}{\sqrt{n^{2}+3 n}-n}\right].$$