披着数列极限外衣的函数无穷小问题：但是不能直接用等价无穷小公式哦

一、题目

当 $n \rightarrow \infty$ 时,数列 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\frac{1}{n}$ 的等价无穷小吗？

难度评级：

二、解析

解法一：转为函数极限后用洛必达求解

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-e}{\frac{1}{n}} \Rightarrow x=\frac{1}{n} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)}-e}{x} \Rightarrow \frac{0}{0} \Rightarrow
$$

洛必达运算：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\prime} e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)}}{1}
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)}=e
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln (1+x)}{x}\right]^{\prime}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x}{1+x}-\ln (1+x)}{x^{2}}=\frac{x-(1+x) \ln (1+x)}{(1+x) x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{[x-\ln (1+x)]-x \ln (1+x)}{x^{2}+x^{3}}=\frac{\frac{1}{2} x^{2}-x^{2}}{x^{2}}=\frac{-1}{2}
$$

于是：

$$
I=\frac{-e}{2}.
$$

方法二：先用等价无穷小的变体，再用洛必达

由题可得：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-e}{\frac{1}{n}} \Rightarrow e \cdot {\lim \limits_{n \rightarrow \infty}} \frac{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{e}-1}{\frac{1}{n}}.
$$

又由等价无穷小（$x \rightarrow 0$）公式 $\ln(1+x) \sim x$, 可得：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1}(x-1) \sim \lim \limits_{x \rightarrow 1} \ln [(x-1)+1] \sim \lim \limits_{x \rightarrow 1} \ln x.
$$

Tips

关于上面这个等价代换的详细内容可以参考《只有当 x 趋于零的时候才能用等价无穷小代换吗？不，x 趋于 1 的时候也可以试试看》

又：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{e}=\frac{e}{e} \Rightarrow 1 \Rightarrow
$$

于是：

$$
e \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{e}-1}{\frac{1}{n}}=e \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left[\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{e}\right]}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

把 $\ln \left[\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}{e}\right]$ 展开：

$$
e \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)-1}{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$

分子分母同除以 $n$:

$$
e \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^{2}}} = e \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^{2}}}.
$$

令 $x=\frac{1}{n}$, 则：

$$
e \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{x^{2}} \Rightarrow
$$

洛必达运算：

$$
e \cdot {\lim \limits_{x \rightarrow 0}} \frac{\frac{1}{1+x}-1}{2 x}=e \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-1-x}{2 x(1+x)}=e \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-x}{2 x+2 x^{2}} =
$$

$$
e \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-x}{2 x}=\frac{-e}{2}.
$$

方法三：先用等价无穷小的变体，再用泰勒公式

首先，当 $x \rightarrow 0$ 时，有如下泰勒公式：

$$
\ln (1+x)=x-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right).
$$

于是：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-e}{\frac{1}{n}} \Rightarrow x=\frac{1}{n} \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}=
$$

$$
e \cdot \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}-1}{x}=e \cdot \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}\right]}{x}=
$$

$$
e \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x} \ln (1+x)-1}{x}=
$$

代入泰勒公式：

$$
e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x}\left(x-\frac{1}{2} x^{2}\right)-1}{x}}=
$$

$$
e \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\frac{1}{2} x-1}{x}=\frac{-e}{2}.
$$

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