当定积分遇上无穷大：先积分再计算无穷大

一、题目

已知：

$$
a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x
$$

则：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n} = ?
$$

难度评级：

二、解析

错误的解法：不能先计算无穷大

注意：抓大头的解法不能随便用，更不能直接用在被积函数和积分上下限中使用，具体内容可以阅读《计算极限问题时“抓大头”要慎重！》

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n}=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} d x=
$$

抓大头：

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{\frac{n}{n}} x^{2 n} \sqrt{x^{2 n}} d x=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{2 n} \cdot x^{n} d x=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{3 n} d x=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{n}{3 n+1} x^{3 n+1} \Big|_{0} ^{1}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{3 n}{3 n+1}= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{3 n}{3 n}=1
$$

正确的解法：要先计算定积分

由于：

$$
\left(1+x^{2 n}\right)^{\prime} x=2 n x^{2 n-1}.
$$

于是，可以凑微分如下：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} d x=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n} \int_{0}^{\frac{n+1}{n}}\left(1+x^{2 n}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} \left(1+x^{2 n}\right)=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n} \cdot \frac{2}{3}\left(1+x^{2 n}\right)^{\frac{3}{2}} \Big|_{0} ^{\frac{n+1}{n}}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\left[1+\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2 n}\right]^{\frac{3}{2}}-1\right\}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\left[1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n \cdot 2}\right]^{\frac{3}{2}}-1\right\}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\left[1+e^{2}\right]^{\frac{3}{2}}-1\right\} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n}=\left(1+e^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-1.
$$

---