标签： 高等数学基础

问题

根据条件收敛的结论，若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 条件收敛，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

[B].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定收敛

[C].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

[D].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 中所有正项所构成的级数一定发散，所有负项所构成的级数一定收敛

   答 案   

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

问题

根据绝对收敛的结论，若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 收敛，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   $|$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ $|$ 必收敛

[B].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 可能收敛

[C].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 必发散

[D].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 必收敛

   答 案   

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 必收敛

问题

已知，有一任意项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 条件收敛？

选项

[A].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 发散，且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散

[B].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 发散，且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

[C].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 发散，且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

[D].   $|$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ $|$ 发散，且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

   答 案   

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 收敛

问题

已知，有一任意项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 绝对收敛？

选项

[A].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

[B].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 发散

[C].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 收敛

[D].   $|$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ $|$ 收敛

   答 案   

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|$ $u_n$ $|$ 收敛

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$, 有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{u_n}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_n$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A].   无法确定

[B].   收敛

[C].   发散

   答 案   

收敛

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$, 有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{u_n}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_n$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A].   发散

[B].   无法确定

[C].   收敛

   答 案   

无法确定

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$, 有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{u_n}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_n$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A].   收敛

[B].   发散

[C].   无法确定

   答 案   

发散

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$ 时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_n$ 中含有 $n!$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A].   发散

[B].   收敛

[C].   无法判断

   答 案   

收敛

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$ 时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_n$ 中含有 $n!$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A].   无法判断

[B].   收敛

[C].   发散

   答 案   

无法判断

问题

已知 $u_n$ $\ge$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$ 时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_n$ 中含有 $n!$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A].   无法判断

[B].   收敛

[C].   发散

   答 案   

发散

问题

已知，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 及 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 均为正项级数，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{u_n}{v_n}$ $=$ $A$ $($ $v_n$ $\ne$ $0$ $)$.

若 $0$ $<$ $A$ $⩽$ $+\mathrm{\infty }$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

[B].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散

[C].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

[D].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散

   答 案   

若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散

问题

已知，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 及 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 均为正项级数，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{u_n}{v_n}$ $=$ $A$ $($ $v_n$ $\ne$ $0$ $)$.

若 $0$ $⩽$ $A$ $<$ $+\mathrm{\infty }$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

[B].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散

[C].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

[D].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散

   答 案   

若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

问题

已知 $0$ $⩽$ $u_n$ $⩽$ $v_n$, 则，以下关于正项级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 的敛散性关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].   
若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛
若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散

[B].   
若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散
若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛

[C].   
若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛
若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散

[D].   
若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛
若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散

   答 案   

若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛
若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散

问题

关于级数 $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n{\ln }^{p}n}$ 的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n{\ln }^{p}n}$ $\{\begin{array}{ll}\mathrm{收}\mathrm{敛},& p⩾1,\\ \mathrm{发}\mathrm{散},& p⩽1.\end{array}$

[B].   $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n{\ln }^{p}n}$ $\{\begin{array}{ll}\mathrm{收}\mathrm{敛},& p>1,\\ \mathrm{发}\mathrm{散},& p<1.\end{array}$

[C].   $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n{\ln }^{p}n}$ $\{\begin{array}{ll}\mathrm{收}\mathrm{敛},& p>0,\\ \mathrm{发}\mathrm{散},& p⩽0.\end{array}$

[D].   $\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n{\ln }^{p}n}$ $\{\begin{array}{ll}\mathrm{收}\mathrm{敛},& p>1,\\ \mathrm{发}\mathrm{散},& p⩽1.\end{array}$

   答 案   

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n{\ln }^{p}n}$ $\{\begin{array}{ll}\mathrm{收}\mathrm{敛},& p>1,\\ \mathrm{发}\mathrm{散},& p⩽1.\end{array}$

问题

关于 $p$ 级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n^p}$ 的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n^p}\{\begin{array}{l}\mathrm{收}\mathrm{敛},p>1,\\ \mathrm{发}\mathrm{散},p=1\text{.}\end{array}$

[B].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n^p}\{\begin{array}{l}\mathrm{收}\mathrm{敛},p>1,\\ \mathrm{发}\mathrm{散},p⩽1\text{.}\end{array}$

[C].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n^p}$ $\{\begin{array}{l}\mathrm{收}\mathrm{敛},p>1,\\ \mathrm{发}\mathrm{散},p<1\text{.}\end{array}$

[D].   $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n^p}\{\begin{array}{l}\mathrm{收}\mathrm{敛},p⩾1,\\ \mathrm{发}\mathrm{散},p⩽1\text{.}\end{array}$

   答 案   

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n^p}\{\begin{array}{l}\mathrm{收}\mathrm{敛},p>1,\\ \mathrm{发}\mathrm{散},p⩽1\text{.}\end{array}$