初等变换和初等矩阵归档

矩阵的等价与秩（C011）

问题

若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则矩阵的秩 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$ 之间是什么关系？

选项

[A]. $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $r(\boldsymbol{B})$

[B]. $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $r(\boldsymbol{B})$ $=$ $0$

[C]. $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $-r(\boldsymbol{B})$

[D]. $r(\boldsymbol{A})$ $\neq$ $r(\boldsymbol{B})$

答案

$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$

矩阵的等价与同型（C011）

问题

若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是等价矩阵，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是否一定是同型矩阵？

选项

[A]. 一定是

[B]. 等价与同型无关

[C]. 不一定是

[D]. 一定不是

答案

等价矩阵一定是同型矩阵

什么是同型矩阵？（C011）

问题

什么是同型矩阵？

选项

[A]. 行数和列数都对应相等的矩阵

[B]. 特征值相等的矩阵

[C]. 可逆的矩阵

[D]. 行数等于列数的矩阵

答案

行数和列数都对应相等的矩阵就是同型矩阵

等价矩阵的性质：$\boldsymbol{P}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{Q}$ $=$ $\boldsymbol{B}$（C011）

问题

如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则存在矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 使得：$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$.
则，上面的矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 具有什么样的性质？

选项

[A]. $\boldsymbol{P}^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$

[B]. $\boldsymbol{P}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$

[C]. $\boldsymbol{P}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$

[D]. $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 均可逆

答案

$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 均可逆

矩阵等价的定义（C011）

问题

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价的定义是什么？

选项

[A]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次求逆运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[B]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次转置运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[C]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经一次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

[D]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

答案

如果矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 经过有限次初等变换可以变成矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 与 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ 等价

初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ 的逆矩阵（C011）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第三种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 1 & -k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

答案

$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(\textcolor{cyan}{k})$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{-k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}(\textcolor{cyan}{-k})$

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第三种初等矩阵

初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}(k)$ 的逆矩阵（C011）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第二种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E}_{i}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{-1}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & \frac{1}{k} & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & k & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

答案

$\boldsymbol{E}_{i}^{-1}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{orange}{\frac{1}{k}} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i}\left(\frac{1}{k}\right)$

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第二种初等矩阵

初等矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ 的逆矩阵（C011）

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第一种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E_{i j}^{-1}}$ 是下列选项中的哪一个？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

答案

$\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{orange}{1} & 0\\ \textcolor{orange}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{orange}{1} \end{bmatrix}^{\textcolor{red}{-1}}$ $=$ $\begin{bmatrix} 0 & \textcolor{cyan}{1} & 0\\ \textcolor{cyan}{1} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \textcolor{cyan}{1} \end{bmatrix}$
$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}$

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第一种初等矩阵

初等矩阵的逆矩阵是否还是初等矩阵？（C011）

问题

根据初等矩阵的性质，初等矩阵的逆矩阵是否还是初等矩阵？

选项

[A]. 否

[B]. 是

答案

初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵

初等矩阵的可逆性（C011）

问题

根据初等矩阵的性质，初等矩阵都可逆吗？

选项

[A]. 初等矩阵不可逆

[B]. 初等矩阵均可逆

[C]. 部分初等矩阵可逆

答案

初等矩阵均可逆

初等变换与初等矩阵的关系之：“右列”原则（C011）

问题

如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次初等列变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的哪边乘以一个相应的 $m$ 阶初等矩阵？

选项

[A]. 左右两边

[B]. 左边

[C]. 右边

[D]. 左边或者右边

答案

对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等列变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的右边乘以相应的 $\textcolor{cyan}{n}$ 阶初等矩阵

初等变换与初等矩阵的关系之：“左行”原则（C011）

问题

如果对矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ 实施一次初等行变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的哪边乘以一个相应的 $m$ 阶初等矩阵？

选项

[A]. 右边

[B]. 左边

[C]. 左边或者右边

[D]. 左右两边

答案

对矩阵 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}_{m \times n}}$ 实施一次初等行变换，就相当于在 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 的左边乘以相应的 $\textcolor{cyan}{m}$ 阶初等矩阵

第三种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 行元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 行上，或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $\textcolor{orange}{i}$ 列元素的 $\textcolor{tan}{k}$ 倍加到第 $\textcolor{orange}{j}$ 列上，所得的矩阵被称为第三种初等矩阵。
根据惯例，以下对第三种初等矩阵的符号表示中，正确的是哪个？

选项

[A]. $k \boldsymbol{E}_{i j}$

[B]. $\boldsymbol{E}_{j}(k)$

[C]. $\boldsymbol{E}_{i}(k)$

[D]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

答案

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{cyan}{j}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} r_{\textcolor{orange}{i}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $+$ $\textcolor{tan}{k} c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}(\textcolor{tan}{k})$

第二种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 行元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 列元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 乘以非零常数 $\textcolor{tan}{k}$, 所得的矩阵被称为第二种初等矩阵。
根据惯例，以下对第二种初等矩阵的符号表示中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

[B]. $k \boldsymbol{E}_{i}$

[C]. $\boldsymbol{E}_{i}$

[D]. $\boldsymbol{E}_{i}(k)$

答案

单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\times$ $\textcolor{cyan}{k}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{\textcolor{orange}{i}}(\textcolor{cyan}{k})$

第一种初等矩阵的表示方法（C011）

问题

将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 行元素 $\textcolor{orange}{r_{i}}$ 与第 $j$ 行元素 $\textcolor{orange}{r_{j}}$ 做一次交换或者将单位矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{E}}$ 第 $i$ 列元素 $\textcolor{orange}{c_{i}}$ 与第 $j$ 列元素 $\textcolor{orange}{c_{j}}$ 做一次交换，所得的矩阵被称为第一种初等矩阵。
根据惯例，以下对第一种初等矩阵的符号表示中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\boldsymbol{E}_{j}$

[B]. $\boldsymbol{E}_{i}$

[C]. $\boldsymbol{E}_{i j}$

[D]. $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$

答案

$\boldsymbol{E}$ 作变换 $r_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $r_{\textcolor{cyan}{j}}$（或 $c_{\textcolor{orange}{i}}$ $\leftrightarrow$ $c_{\textcolor{cyan}{j}}$），得初等矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{red}{E}}_{\textcolor{orange}{i} \textcolor{cyan}{j}}$