初等矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ 的逆矩阵(C011)

问题

已知矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}(k)$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 是一个经过一次第三种初等变换形成的初等矩阵,则该矩阵的逆矩阵 $\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个?

选项

[A].   $\begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[B].   $\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[C].   $\begin{bmatrix} 1 & k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[D].   $\begin{bmatrix} 1 & -k & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$


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$\boldsymbol{E}_{i j}^{-1}(\textcolor{cyan}{k})$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1}$ $=$ $\begin{bmatrix} 1 & \textcolor{orange}{-k} & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $=$ $\boldsymbol{E}_{i j}(\textcolor{cyan}{-k})$

拓展资料 拓展资料 - 荒原之梦

  1. 第三种初等矩阵