初等矩阵 ${\mathit{E}}_{ij}(k)$ 的逆矩阵（C011）

问题

已知矩阵 ${\mathit{E}}_{ij}(k)$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& k& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ 是一个经过一次第三种初等变换形成的初等矩阵，则该矩阵的逆矩阵 ${\mathit{E}}_{ij}^{-1}(k)$ 是下列选项中的哪一个？

选项

[A].   $\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{-1}{k}& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

[B].   $\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{k}& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

[C].   $\left[\begin{array}{ccc}1& k& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

[D].   $\left[\begin{array}{ccc}1& -k& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

   答 案   

${\mathit{E}}_{ij}^{-1}(k)$ $=$ ${\left[\begin{array}{ccc}1& k& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& -k& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $=$ ${\mathit{E}}_{ij}(-k)$

拓展资料

1. 第三种初等矩阵