标签： 考研数学一

一、性质

若实数 $A$ 为函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限，则存在 $\delta > 0$, 使得 $f\left(x\right)$ 在去心邻域 $\overset{\circ}{U}\left(x_{0}, \delta\right)$ 中有界.

继续阅读“一元函数一点处极限的性质之局部有界性”

一、性质

设函数 $f \left(x\right)$ 和 $g \left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$，若存在 $\rho > 0$, 使得当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \rho$ 时，$g \left(x\right) \leqslant f \left(x\right)$, 则下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
B \leqslant A
}
$$

继续阅读“一元函数一点处极限的性质之局部保不等式性”

性质

设函数 $f \left(x\right)$、$g \left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处的极限分别为 $A$ 和 $B$, 若 $A > B$, 则存在 $\delta > 0$, 使得当 $0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta$ 时，下式成立：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f \left(x\right) > g \left(x\right)
}
$$

继续阅读“一元函数一点处极限的性质之局部保序性”

一、性质

若函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处存在极限，则极限值唯一.

二、性质的证明（反证法）

不妨设 $A, B \in \mathbb{R}$ 均为函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{{0}}$ 处的极限，按照一元函数一点处极限的定义，对于任意给定的 $\epsilon > 0$,

• $\exists \delta_{{1}} > 0, \forall x \left(0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta_{{1}}\right)$, 使得 $\left|f\left(x\right) – A\right| < \dfrac{\epsilon}{2}$；

• $\exists \delta_{{2}} > 0, \forall x \left(0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta_{{2}}\right)$, 使得 $\left|f\left(x\right) – B\right| < \dfrac{\epsilon}{2}$.

取 $\delta = \min\left\{\delta_{{1}}, \delta_{{2}}\right\}$, 由三角不等式可知，当 $0 < \left|x – x_{{0}}\right| < \delta$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
& \ \left|A – B\right| \\ \\
\leqslant & \ \left|f\left(x\right) – A\right| + \left|f\left(x\right) – B\right| \\ \\
< & \ \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon
\end{aligned}
$$

由于 $\epsilon$ 具有任意性（$\epsilon$ 可任意接近 $0$），因此可知：

$$
A = B
$$

综上可知，性质得证.

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一、文字定义

一元函数 $f \left( x \right)$ 在 $x_{0}$ 处的极限的定义：

设函数 $f \left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 的某个去心邻域 $U^{\circ} \left(x_{0}, \rho\right)$ 中有定义，即存在 $\rho > 0$, 使得：

$$
U^{\circ}\left(x_{0}, \rho\right) \subseteq D_{f}
$$

若存在实数 $A$, 使得对于任意给定的 $\varepsilon > 0$, 总是存在 $\delta > 0 \, \left(\delta < \rho\right)$, 使得当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta$ 时，下式成立：

$$
\left|f \left(x\right) – A\right| < \varepsilon
$$

则称 $A$ 是函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限，记作：

$$
\lim_{x \to x_{0}} f \left(x\right) = A
$$

或者：

$$
f \left(x\right) \to A \, \left(x \to x_{0}\right)
$$

反之，如果不存在具有上述性质的实数 $A$, 则称函数 $f \left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处不存在极限.

二、符号定义

$$
\begin{aligned}
& \ \lim_{x \to x_{0}} f\left(x\right) = A \\ \\
\Leftrightarrow & \ \forall \varepsilon > 0, \, \exists \delta > 0 \, \left( \delta < \rho \right), \, \forall x\left(0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta\right) : \left|f\left(x\right) – A\right| < \varepsilon
\end{aligned}
$$

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一、前言

在一些证明过程中，我们会看到诸如“不失一般性地假设”这样的表达，“不妨设”的另一个名字是“不妨设”.

那么，什么是“不妨设”？为什么这样“设”是“不妨”的呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们针对上述问题做一个详细的讲解.

继续阅读“什么是“不失一般性地假设”？什么是“不妨设”？”

一、前言

由《峰图 | 从包含关系的视角理解充分条件与必要条件》这篇讲义可知，我们可以用几何图形的相互包含关系表示充分条件和必要条件. 而反证法则可以将对充分条件的证明转为对必要条件的证明，或者将对必要条件的证明转为对充分条件的证明.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示和比喻的方式，帮助同学们快速建立对上述的反证法证明逻辑的形象理解.

继续阅读“峰图 | 从包含关系的视角理解用反证法逆转充分条件和必要条件的证明逻辑”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过绘图的方式，从几何包含关系的视角，帮助同学们建立对数学中“充分条件”、“必要条件”和“充要条件”之间关系的形象理解.

继续阅读“峰图 | 从包含关系的视角理解充分条件与必要条件”

	$-1$	$\frac{- \sqrt{3}}{2}$	$\frac{- \sqrt{2}}{2}$	$\frac{-1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arcsin$	$\frac{- \pi}{2}$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\arccos$	$\pi$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$

	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-1}{\sqrt{3}}$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$
$\arctan$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$
$\operatorname{arccot}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$

上面四个反三角函数的取值范围为：

$$
\begin{aligned}
\arcsin x & \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\
\arccos x & \in \left[ 0, \pi \right] \\
\arctan x & \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \\
\operatorname{arccot} x & \in \left( 0, \pi \right)
\end{aligned}
$$

一、前言

在本文中，「荒原之梦」将结合实际的概率事件，通过形象化的作用力分析的方法，尝试解释正态分布概率形态的形成机制，并基于此，对正态分布型概率事件内部对象的活动性质以及不同正态分布型概率事件之间可能的演变机制给出一个猜想。

继续阅读“峰图 | 基于作用力分析的正态分布概率形态形成机制猜想”

一、前言

下面这些量相等吗：

$$
0, \ -0, \ +0, \ 0^{-}, \ 0^{+}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对这一问题给出讲解.

继续阅读“对于 0 而言，正负都一样，左右不一样”