转置不会改变行列式的值

一、题目

二、解析

解法 1

观察题目可知，已知结果的行列式 $\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}$ 的元素 $a_{i}$, $b{i}$, $c_{i}$ 都是在行向量中，要求解的式子 $\begin{vmatrix} a_{1} & 2c_{1}-5b_{1} & 3b_{1} \\ a_{2} & 2c_{2}-5b_{2} & 3b_{2} \\ a_{3} & 2c_{3}-5b_{3} & 3b_{3} \end{vmatrix}$ 中的元素 $a_{i}$, $b{i}$, $c_{i}$ 都是在列向量中.

但是，转置不会改变行列式的值，所以，我们可以先对要求解的式子做一个转置运算，再对行列式进行拆分，于是：

$$
\begin{aligned}
& \ \begin{vmatrix}
a_{1} & 2c_{1}-5b_{1} & 3b_{1} \\
a_{2} & 2c_{2}-5b_{2} & 3b_{2} \\
a_{3} & 2c_{3}-5b_{3} & 3b_{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
2c_{1}-5b_{1} & 2c_{2}-5b_{2} & 2c_{3}-5b_{3} \\
3b_{1} & 3b_{2} & 3b_{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
2c_{1} & 2c_{2} & 2c_{3} \\
3b_{1} & 3b_{2} & 3b_{3}
\end{vmatrix} – \begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
-5b_{1} & -5b_{2} & -5b_{3} \\
3b_{1} & 3b_{2} & 3b_{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
2c_{1} & 2c_{2} & 2c_{3} \\
3b_{1} & 3b_{2} & 3b_{3}
\end{vmatrix} – \begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
-5b_{1} & -5b_{2} & -5b_{3} \\
0 & 0 & 0
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ \begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
2c_{1} & 2c_{2} & 2c_{3} \\
3b_{1} & 3b_{2} & 3b_{3}
\end{vmatrix} – 0 \\ \\
= & \ – \begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
3b_{1} & 3b_{2} & 3b_{3} \\
2c_{1} & 2c_{2} & 2c_{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ -2 \times 3 \times \begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3} \\
c_{1} & c_{2} & c_{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ \textcolor{lightgreen}{-6m}
\end{aligned}
$$

解法 2

与上面的解法 1 不同，我们也可以先做行列式的拆分运算，再做行列式的转置运算：

$$
\begin{aligned}
& \ \begin{vmatrix}
a_{1} & 2c_{1}-5b_{1} & 3b_{1} \\
a_{2} & 2c_{2}-5b_{2} & 3b_{2} \\
a_{3} & 2c_{3}-5b_{3} & 3b_{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ 3 \begin{vmatrix}
a_{1} & 2c_{1}-5b_{1} & b_{1} \\
a_{2} & 2c_{2}-5b_{2} & b_{2} \\
a_{3} & 2c_{3}-5b_{3} & b_{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ 3 \begin{vmatrix}
a_{1} & 2c_{1} & b_{1} \\
a_{2} & 2c_{2} & b_{2} \\
a_{3} & 2c_{3} & b_{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ 6 \begin{vmatrix}
a_{1} & c_{1} & b_{1} \\
a_{2} & c_{2} & b_{2} \\
a_{3} & c_{3} & b_{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ -6 \begin{vmatrix}
a_{1} & b_{1} & c_{1} \\
a_{2} & b_{2} & c_{2} \\
a_{3} & b_{3} & c_{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ -6 \begin{vmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3} \\
c_{1} & c_{2} & c_{3}
\end{vmatrix} \\ \\
= & \ \textcolor{lightgreen}{-6m}
\end{aligned}
$$

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