一元函数一点处极限的定义

一、文字定义

一元函数 $f \left( x \right)$ 在 $x_{0}$ 处的极限的定义：

设函数 $f \left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 的某个去心邻域 $U^{\circ} \left(x_{0}, \rho\right)$ 中有定义，即存在 $\rho > 0$, 使得：

$$
U^{\circ}\left(x_{0}, \rho\right) \subseteq D_{f}
$$

若存在实数 $A$, 使得对于任意给定的 $\varepsilon > 0$, 总是存在 $\delta > 0 \, \left(\delta < \rho\right)$, 使得当 $0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta$ 时，下式成立：

$$
\left|f \left(x\right) – A\right| < \varepsilon
$$

则称 $A$ 是函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处的极限，记作：

$$
\lim_{x \to x_{0}} f \left(x\right) = A
$$

或者：

$$
f \left(x\right) \to A \, \left(x \to x_{0}\right)
$$

反之，如果不存在具有上述性质的实数 $A$, 则称函数 $f \left(x\right)$ 在点 $x_{0}$ 处不存在极限.

二、符号定义

$$
\begin{aligned}
& \ \lim_{x \to x_{0}} f\left(x\right) = A \\ \\
\Leftrightarrow & \ \forall \varepsilon > 0, \, \exists \delta > 0 \, \left( \delta < \rho \right), \, \forall x\left(0 < \left|x – x_{0}\right| < \delta\right) : \left|f\left(x\right) – A\right| < \varepsilon
\end{aligned}
$$

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